微积分学示例

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x \sin (x) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

解题步骤 2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

解题步骤 4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}{x - (\frac{π}{2})}$

解题步骤 5

计算 $π$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

解题步骤 6

将 $\frac{π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π}{x - (\frac{π}{2})}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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解题步骤 7.1.1

将 $\frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π}{x - \frac{π}{2}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π}{x - \frac{π}{2}}$

解题步骤 7.1.2

合并。

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) - π)}{2 (x - \frac{π}{2})}$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x + 2 (- \frac{π}{2})}$

解题步骤 7.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x + 2 \frac{- π}{2}}$

解题步骤 7.3.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x + 2 \frac{- π}{2}}$

解题步骤 7.3.3

重写表达式。

$\frac{2 (2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})) + 2 (- π)}{2 x - π}$

解题步骤 7.4

化简分子。

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解题步骤 7.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

解题步骤 7.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2) \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

解题步骤 7.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2 \frac{π}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

解题步骤 7.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2 π \cdot \sin (\frac{π}{2}) + 2 (- π)}{2 x - π}$

解题步骤 7.4.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2 π \cdot 1 + 2 (- π)}{2 x - π}$

解题步骤 7.4.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 π + 2 (- π)}{2 x - π}$

解题步骤 7.4.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 π - 2 π}{2 x - π}$

解题步骤 7.4.6

从 $2 π$ 中减去 $2 π$ 。

$\frac{0}{2 x - π}$

解题步骤 7.5

用 $0$ 除以 $2 x - π$ 。

$0$

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