微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} {(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 ${(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)}$ 重写为 $e^{\ln ({(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)})}$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\ln ({(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\cot (3 x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({(1 + \sec (3 x))}^{\cot (3 x)})$ 。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

解题步骤 2

设置极限为左极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{-}} e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

解题步骤 3

通过代入变量的值计算极限。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$ 的极限值。

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \sec (3 \frac{π}{2}))}$

解题步骤 3.2

将 $\sec (3 \frac{π}{2})$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{\cos (3 \frac{π}{2})})}$

解题步骤 3.3

组合 $3$ 和 $\frac{π}{2}$ 。

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{\cos (\frac{3 π}{2})})}$

解题步骤 3.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{\cos (\frac{π}{2})})}$

解题步骤 3.5

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{0})}$

解题步骤 3.6

因为 $e^{\cot (3 \frac{π}{2}) \ln (1 + \frac{1}{0})}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 4

设置极限为右极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} e^{\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

解题步骤 5

计算右极限。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))}$

解题步骤 5.2

将 $\cot (3 x) \ln (1 + \sec (3 x))$ 重写为 $\frac{\ln (1 + \sec (3 x))}{\frac{1}{\cot (3 x)}}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\ln (1 + \sec (3 x))}{\frac{1}{\cot (3 x)}}}$

解题步骤 5.3

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \ln (1 + \sec (3 x))}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\cot (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\cot (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.1.3

计算分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.3.1

应用三角恒等式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.3.1.1

将 $\cot (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}}}$

解题步骤 5.3.1.3.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ 。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.1.3.1.3

将 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 转换成 $\tan (3 x)$ 。

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan (3 x)}}$

解题步骤 5.3.1.3.2

当 $x$ 的值从右侧趋于 $\frac{π}{2}$ 时，函数值无限递减。

$e^{\frac{\infty}{- \infty}}$

解题步骤 5.3.1.3.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{\frac{\infty}{- \infty}}$

解题步骤 5.3.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{\frac{\infty}{- \infty}}$

解题步骤 5.3.2

因为 $\frac{\infty}{- \infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\ln (1 + \sec (3 x))}{\frac{1}{\cot (3 x)}} = lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sec (3 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}$

解题步骤 5.3.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sec (3 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 + \sec (3 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $1 + \sec (3 x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + \sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + \sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.2.3

使用 $1 + \sec (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [1 + \sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.3

根据加法法则， $1 + \sec (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} (0 + \frac{d}{d x} [\sec (3 x)])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$ 相加。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.6.2

$\sec (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.6.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{1}{1 + \sec (3 x)} \sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.7

组合 $\sec (3 x)$ 和 $\frac{1}{1 + \sec (3 x)}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.8

组合 $\tan (3 x)$ 和 $\frac{\sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.10

组合 $3$ 和 $\frac{\tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.12

将 $\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \tan (3 x) \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.13.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.13.1.1

将 $\tan (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.13.1.2

组合 $3$ 和 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \sec (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.13.1.3

将 $\sec (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.13.1.4

乘以 $\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\cos (3 x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.13.1.4.1

将 $\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 乘以 $\frac{1}{\cos (3 x)}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.13.1.4.2

对 $\cos (3 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.13.1.4.3

对 $\cos (3 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.13.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{1 + 1}}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.13.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.13.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.13.2.1

将 $\frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}{1 + \sec (3 x)}$ 重写为乘积形式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{1}{1 + \sec (3 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.13.2.2

将 $\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}$ 乘以 $\frac{1}{1 + \sec (3 x)}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.14

将 $\cot (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}}]}}$

解题步骤 5.3.3.15

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.16

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.17

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.17.1

重写表达式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.17.2

将 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}]}}$

解题步骤 5.3.3.18

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \sin (3 x)$ 且 $g (x) = \cos (3 x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.19

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.19.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 x$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.19.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.19.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.20

对 $\cos (3 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{1} (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.21

对 $\cos (3 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{1} (3 x) \cos^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{{\cos (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.23

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.24

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.25

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1 - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.26

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{\cos^{2} (3 x) \cdot 3 - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.27

将 $3$ 移到 $\cos^{2} (3 x)$ 的左侧。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cdot \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.28

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.28.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.28.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.28.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) - \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.29

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + 1 \sin (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.30

将 $\sin (3 x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.31

对 $\sin (3 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{1} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.32

对 $\sin (3 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.33

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + {\sin (3 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.34

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.35

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.36

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.37

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x) \cdot 3}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.38

将 $3$ 移到 $\sin^{2} (3 x)$ 的左侧。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cos^{2} (3 x) + 3 \cdot \sin^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.39

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.39.1

从 $3 \cos^{2} (3 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 \sin^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.39.2

从 $3 \sin^{2} (3 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 (\sin^{2} (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.39.3

从 $3 (\cos^{2} (3 x)) + 3 (\sin^{2} (3 x))$ 中分解出因数 $3$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\cos^{2} (3 x) + \sin^{2} (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.39.4

重新整理项。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 (\sin^{2} (3 x) + \cos^{2} (3 x))}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.39.5

使用勾股恒等式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3 \cdot 1}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.3.39.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}{\frac{3}{\cos^{2} (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))} \cdot \frac{\cos^{2} (3 x)}{3}}$

解题步骤 5.3.5

将 $\frac{3 \sin (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}$ 乘以 $\frac{\cos^{2} (3 x)}{3}$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{3 \sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x)) \cdot 3}}$

解题步骤 5.3.6

简化。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.6.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.6.1.1

约去公因数。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{3 \sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x)) \cdot 3}}$

解题步骤 5.3.6.1.2

重写表达式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}$

解题步骤 5.3.6.2

约去 $\cos^{2} (3 x)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.6.2.1

约去公因数。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x) \cos^{2} (3 x)}{\cos^{2} (3 x) (1 + \sec (3 x))}}$

解题步骤 5.3.6.2.2

重写表达式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}$

解题步骤 5.3.7

将 $\sec (3 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{1 + \frac{1}{\cos (3 x)}}}$

解题步骤 5.3.8

将 $\frac{1}{\cos (3 x)}$ 转换成 $\sec (3 x)$ 。

$e^{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin (3 x)}{1 + \sec (3 x)}}$

解题步骤 5.4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{\sin (3 x)}{1 + \sec (3 x)}$ 趋于 $0$ 。

$e^{0}$

解题步骤 5.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 6

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例

微积分学示例