微积分学示例

$\frac{lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 1.2

因为项 $8$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{8 lim_{h \to 0} {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 1.3

使用极限幂法则把 ${(\frac{1}{2} + h)}^{8}$ 的指数 $8$ 移到极限外。

$\frac{8 {(lim_{h \to 0} \frac{1}{2} + h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 1.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{8 {(lim_{h \to 0} \frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{1}{2}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{8 {(\frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{8} - lim_{h \to 0} 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 1.6

计算 $8 {(\frac{1}{2})}^{8}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{8 {(\frac{1}{2} + lim_{h \to 0} h)}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{8 {(\frac{1}{2} + 0)}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 {(\frac{1}{2})}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 3.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{8 \frac{1^{8}}{2^{8}} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 3.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{8 \frac{1}{2^{8}} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 3.1.4

对 $2$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{8 (\frac{1}{256}) - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 3.1.5

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.5.1

从 $256$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 \frac{1}{8 (32)} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 3.1.5.2

约去公因数。

$\frac{8 \frac{1}{8 \cdot 32} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 3.1.5.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{32} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

解题步骤 3.1.6

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{1}{32} - 8 \frac{1^{8}}{2^{8}}}{h}$

解题步骤 3.1.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{1}{32} - 8 \frac{1}{2^{8}}}{h}$

解题步骤 3.1.8

对 $2$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{\frac{1}{32} - 8 (\frac{1}{256})}{h}$

解题步骤 3.1.9

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.9.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{\frac{1}{32} + 8 (- 1) \frac{1}{256}}{h}$

解题步骤 3.1.9.2

从 $256$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{\frac{1}{32} + 8 \cdot - 1 \frac{1}{8 \cdot 32}}{h}$

解题步骤 3.1.9.3

约去公因数。

$\frac{\frac{1}{32} + 8 \cdot - 1 \frac{1}{8 \cdot 32}}{h}$

解题步骤 3.1.9.4

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{32} - 1 (\frac{1}{32})}{h}$

解题步骤 3.1.10

将 $- 1 (\frac{1}{32})$ 重写为 $- (\frac{1}{32})$ 。

$\frac{\frac{1}{32} - (\frac{1}{32})}{h}$

解题步骤 3.1.11

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1 - 1}{32}}{h}$

解题步骤 3.1.12

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{0}{32}}{h}$

解题步骤 3.1.13

用 $0$ 除以 $32$ 。

$\frac{0}{h}$

解题步骤 3.2

用 $0$ 除以 $h$ 。

$0$

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