微积分学示例

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 1

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{x + h + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1}}$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{\sqrt{x + h + 1} \sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.2.2

对 $\sqrt{x + h + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1} \sqrt{x + h + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.2.3

对 $\sqrt{x + h + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1} {\sqrt{x + h + 1}}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{\sqrt{x + h + 1}}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.2.6

将 ${\sqrt{x + h + 1}}^{2}$ 重写为 $x + h + 1$ 。

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解题步骤 2.1.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + h + 1}$ 重写成 ${(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{({(x + h + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.2.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{{(x + h + 1)}^{1}} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.2.6.5

化简。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.3

将 $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - (\frac{1}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}})$

解题步骤 2.1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.4.2

对 $\sqrt{x + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}}$

解题步骤 2.1.4.3

对 $\sqrt{x + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}}$

解题步骤 2.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{\sqrt{x + 1}}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6

将 ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ 重写为 $x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.1.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{{(x + 1)}^{1}}$

解题步骤 2.1.4.6.5

化简。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

解题步骤 2.2

要将 $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$

解题步骤 2.3

要将 $- \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}$

解题步骤 2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h + 1) (x + 1)$ 的形式。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{\sqrt{x + h + 1}}{x + h + 1}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}$

解题步骤 2.4.2

将 $\frac{\sqrt{x + 1}}{x + 1}$ 乘以 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

解题步骤 2.4.3

重新排序 $(x + h + 1) (x + 1)$ 的因式。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{\sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} (x + 1) - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} \cdot 1 - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

解题步骤 2.6.2

将 $\sqrt{x + h + 1}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$

解题步骤 2.6.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} x - \sqrt{x + 1} h - \sqrt{x + 1} \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

解题步骤 2.6.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sqrt{x + h + 1} x + \sqrt{x + h + 1} - \sqrt{x + 1} x - \sqrt{x + 1} h - \sqrt{x + 1}}{(x + 1) (x + h + 1)}$

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