微积分学示例

$lim_{t \to \infty} 24 - \frac{16 t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{t \to \infty} 24 - lim_{t \to \infty} \frac{16 t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.2

计算 $24$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$24 - lim_{t \to \infty} \frac{16 t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

解题步骤 1.3

因为项 $16$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$24 - 16 lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{{(t + 2)}^{2}}$

解题步骤 2

分子分母同时除以分母中 $t$ 的最高次幂。

$24 - 16 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t^{2}}{t^{2}}}{{(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

约去 $t^{2}$ 的公因数。

$24 - 16 lim_{t \to \infty} \frac{1}{{(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

解题步骤 3.2

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$24 - 16 \frac{lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} {(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

解题步骤 3.3

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$24 - 16 \frac{1}{lim_{t \to \infty} {(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

解题步骤 3.4

使用极限幂法则把 ${(\frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} \frac{t}{t} + \frac{2}{t})}^{2}}$

解题步骤 3.5

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} \frac{t}{t} + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

解题步骤 3.6

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

约去公因数。

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} \frac{t}{t} + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

重写表达式。

$24 - 16 \frac{1}{{(lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

解题步骤 3.7

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + lim_{t \to \infty} \frac{2}{t})}^{2}}$

解题步骤 3.8

因为项 $2$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t})}^{2}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{t}$ 趋于 $0$ 。

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + 2 \cdot 0)}^{2}}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$24 - 16 \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}$

解题步骤 5.1.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$24 - 16 \frac{1}{1^{2}}$

解题步骤 5.1.1.3

一的任意次幂都为一。

$24 - 16 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.1.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

约去公因数。

$24 - 16 (\frac{1}{1})$

解题步骤 5.1.2.2

重写表达式。

$24 - 16 \cdot 1$

解题步骤 5.1.3

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$24 - 16$

解题步骤 5.2

从 $24$ 中减去 $16$ 。

$8$

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