微积分学示例

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (\cos (x + h)) - \ln (\cos (x))}{h}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} \ln (\cos (x + h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

解题步骤 1.2

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{h \to 0} \cos (x + h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

解题步骤 1.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\ln (\cos (lim_{h \to 0} x + h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

解题步骤 1.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\ln (\cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

解题步骤 1.5

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\ln (\cos (x + lim_{h \to 0} h)) - lim_{h \to 0} \ln (\cos (x))}{h}$

解题步骤 1.6

计算 $\ln (\cos (x))$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\ln (\cos (x + lim_{h \to 0} h)) - \ln (\cos (x))}{h}$

解题步骤 2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{\ln (\cos (x + 0)) - \ln (\cos (x))}{h}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\ln (\cos (x)) - \ln (\cos (x))}{h}$

解题步骤 3.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{\ln (\frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{h}$

解题步骤 3.1.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.3.1

约去公因数。

$\frac{\ln (\frac{\cos (x)}{\cos (x)})}{h}$

解题步骤 3.1.3.2

重写表达式。

$\frac{\ln (1)}{h}$

解题步骤 3.1.4

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{h}$

解题步骤 3.2

用 $0$ 除以 $h$ 。

$0$

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