微积分学示例

$lim_{y \to 0} \frac{\sin (3 y) \cot (5 y)}{y \cdot \cot (4 y)}$

解题步骤 1

当 $y$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{y \to 0} \sin (3 y) \cot (5 y)}{lim_{y \to 0} y \cdot \cot (4 y)}$

解题步骤 2

考虑左极限。

$lim_{y \to 0^{-}} \sin (3 y) \cot (5 y)$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数 $\sin (3 y) \cot (5 y)$ 在 $y$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} y & \sin (3 y) \cot (5 y) \\ - 0.1 & 0.5409461 \\ - 0.01 & 0.59940999 \\ - 0.001 & 0.5999941 \\ - 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

解题步骤 4

当 $y$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.6$ 。因此， $\sin (3 y) \cot (5 y)$ 在 $y$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.6$ 。

$0.6$

解题步骤 5

考虑右极限。

$lim_{y \to 0^{+}} \sin (3 y) \cot (5 y)$

解题步骤 6

制作一个表格展示函数 $\sin (3 y) \cot (5 y)$ 在 $y$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} y & \sin (3 y) \cot (5 y) \\ 0.1 & 0.5409461 \\ 0.01 & 0.59940999 \\ 0.001 & 0.5999941 \\ 0.0001 & 0.59999994 \end{array}$

解题步骤 7

当 $y$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.6$ 。因此， $\sin (3 y) \cot (5 y)$ 在 $y$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.6$ 。

$\frac{0.6}{lim_{y \to 0} y \cdot \cot (4 y)}$

解题步骤 8

考虑左极限。

$lim_{y \to 0^{-}} y \cdot \cot (4 y)$

解题步骤 9

制作一个表格展示函数 $y \cdot \cot (4 y)$ 在 $y$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} y & y \cdot \cot (4 y) \\ - 0.1 & 0.23652224 \\ - 0.01 & 0.24986665 \\ - 0.001 & 0.24999866 \end{array}$

解题步骤 10

当 $y$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.25$ 。因此， $y \cdot \cot (4 y)$ 在 $y$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.25$ 。

$0.25$

解题步骤 11

考虑右极限。

$lim_{y \to 0^{+}} y \cdot \cot (4 y)$

解题步骤 12

制作一个表格展示函数 $y \cdot \cot (4 y)$ 在 $y$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} y & y \cdot \cot (4 y) \\ 0.1 & 0.23652224 \\ 0.01 & 0.24986665 \\ 0.001 & 0.24999866 \end{array}$

解题步骤 13

当 $y$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.25$ 。因此， $y \cdot \cot (4 y)$ 在 $y$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.25$ 。

$\frac{0.6}{0.25}$

解题步骤 14

用 $0.6$ 除以 $0.25$ 。

$2.4$

微积分学 示例