微积分学示例

$lim_{x \to π} {\sin (x)}^{\csc (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${\sin (x)}^{\csc (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})}$ 。

$lim_{x \to π} e^{\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\csc (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({\sin (x)}^{\csc (x)})$ 。

$lim_{x \to π} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

解题步骤 2

设置极限为左极限。

$lim_{x \to π^{-}} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

解题步骤 3

因为指数 $\csc (x) \ln (\sin (x))$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$ 趋于 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

设置极限为右极限。

$lim_{x \to π^{+}} e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$

解题步骤 5

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 5.1

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $e^{\csc (x) \ln (\sin (x))}$ 的极限值。

$e^{\csc (π) \ln (\sin (π))}$

解题步骤 5.2

将 $\csc (π)$ 重写为正弦和余弦形式。

$e^{\frac{1}{\sin (π)} \ln (\sin (π))}$

解题步骤 5.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$e^{\frac{1}{\sin (0)} \ln (\sin (π))}$

解题步骤 5.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$e^{\frac{1}{0} \ln (\sin (π))}$

解题步骤 5.5

因为 $e^{\frac{1}{0} \ln (\sin (π))}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 6

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

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