微积分学示例

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 转换成 $\csc^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to π} {(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$

解题步骤 2

将 ${(x - π)}^{2} \csc^{2} (x)$ 重写为 $\frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ 。

$lim_{x \to π} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 3

设置极限为左极限。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 4

计算左极限。

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解题步骤 4.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to π^{-}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 4.1.1.2.1.1

使用极限幂法则把 ${(x - π)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.2.1.2

当 $x$ 趋于 $π$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.2.1.3

计算 $π$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $π$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to π^{-}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.2.2

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 4.1.1.2.3.1

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 4.1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

解题步骤 4.1.1.3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.1.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.2

将 ${(x - π)}^{2}$ 重写为 $(x - π) (x - π)$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(x - π) (x - π)$ 。

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解题步骤 4.1.3.3.1

运用分配律。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.3.2

运用分配律。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.3.3

运用分配律。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.4.1.2

乘以 $- π (- π)$ 。

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解题步骤 4.1.3.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.4.1.2.2

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.4.1.2.3

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.4.1.2.4

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.4.1.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.4.1.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.4.2

从 $x (- π)$ 中减去 $π x$ 。

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解题步骤 4.1.3.4.2.1

移动 $x$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.4.2.2

从 $- π x$ 中减去 $π x$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.5

根据加法法则， $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.7

因为 $- 2 π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 π x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.9

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.10

因为 $π^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.11

将 $2 x - 2 π$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 4.1.3.12

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 4.1.3.12.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\csc (x)$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 4.1.3.12.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 4.1.3.12.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 4.1.3.13

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

解题步骤 4.1.3.14

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

解题步骤 4.1.3.15

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

解题步骤 4.1.3.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

解题步骤 4.1.3.17

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

解题步骤 4.1.3.18

化简。

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解题步骤 4.1.3.18.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

解题步骤 4.1.3.18.2

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

解题步骤 4.1.3.18.3

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 4.1.3.18.4

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.18.4.1

从 $2 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 4.1.3.18.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 4.1.3.18.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 4.1.3.18.5

使用正弦倍角公式。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

解题步骤 4.1.4

从 $2 x - 2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

解题步骤 4.1.4.2

从 $- 2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

解题步骤 4.1.4.3

从 $2 (x) + 2 (- π)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

解题步骤 4.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

解题步骤 4.3

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.3.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

解题步骤 4.3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 4.3.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $π$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - lim_{x \to π^{-}} π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

解题步骤 4.3.1.2.1.2

计算 $π$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $π$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{lim_{x \to π^{-}} x - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

解题步骤 4.3.1.2.3

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{-}} \sin (2 x)}$

解题步骤 4.3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 4.3.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 4.3.1.3.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

解题步骤 4.3.1.3.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

解题步骤 4.3.1.3.2

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

解题步骤 4.3.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 4.3.1.3.3.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 4.3.1.3.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 4.3.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 4.3.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 4.3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 4.3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to π^{-}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 4.3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 4.3.3.2

根据加法法则， $x - π$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ 。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 4.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 4.3.3.4

因为 $- π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- π$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 4.3.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 4.3.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 4.3.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 4.3.3.6.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 4.3.3.6.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 4.3.3.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.3.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

解题步骤 4.3.3.10

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

解题步骤 4.4

计算极限值。

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解题步骤 4.4.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

解题步骤 4.4.2

当 $x$ 趋于 $π$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{-}} 1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

解题步骤 4.4.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $π$ 时此极限值为常数。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{-}} \cos (2 x)}$

解题步骤 4.4.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{-}} 2 x)}$

解题步骤 4.4.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{-}} x)}$

解题步骤 4.5

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

解题步骤 4.6

化简答案。

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解题步骤 4.6.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1.1

约去公因数。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

解题步骤 4.6.1.2

重写表达式。

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

解题步骤 4.6.2

将 $\frac{1}{\cos (2 π)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

解题步骤 4.6.3

将 $\frac{1}{\cos (2 π)}$ 转换成 $\sec (2 π)$ 。

$\sec (2 π)$

解题步骤 4.6.4

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sec (0)$

解题步骤 4.6.5

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 5

设置极限为右极限。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 6

计算右极限。

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解题步骤 6.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 6.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 6.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to π^{+}} {(x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 6.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 6.1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 6.1.1.2.1.1

使用极限幂法则把 ${(x - π)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 6.1.1.2.1.2

当 $x$ 趋于 $π$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 6.1.1.2.1.3

计算 $π$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $π$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to π^{+}} x - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 6.1.1.2.2

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(π - π)}^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 6.1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 6.1.1.2.3.1

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 6.1.1.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

解题步骤 6.1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 6.1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

解题步骤 6.1.1.3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.1.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{{(x - π)}^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 6.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - π)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.2

将 ${(x - π)}^{2}$ 重写为 $(x - π) (x - π)$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [(x - π) (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.3

使用 FOIL 方法展开 $(x - π) (x - π)$ 。

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解题步骤 6.1.3.3.1

运用分配律。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.3.2

运用分配律。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π (x - π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.3.3

运用分配律。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.3.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x - π (- π)]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.4.1.2

乘以 $- π (- π)$ 。

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解题步骤 6.1.3.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + 1 π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.4.1.2.2

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.4.1.2.3

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.4.1.2.4

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1} π^{1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.4.1.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{1 + 1}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.4.1.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x (- π) - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.4.2

从 $x (- π)$ 中减去 $π x$ 。

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解题步骤 6.1.3.4.2.1

移动 $x$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - π x - π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.4.2.2

从 $- π x$ 中减去 $π x$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 π x + π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.5

根据加法法则， $x^{2} - 2 π x + π^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 π x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.7

因为 $- 2 π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 π x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.9

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + \frac{d}{d x} [π^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.10

因为 $π^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π + 0}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.11

将 $2 x - 2 π$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

解题步骤 6.1.3.12

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 2}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

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解题步骤 6.1.3.12.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\csc (x)$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 6.1.3.12.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 6.1.3.12.3

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

解题步骤 6.1.3.13

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

解题步骤 6.1.3.14

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

解题步骤 6.1.3.15

对 $\csc (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

解题步骤 6.1.3.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

解题步骤 6.1.3.17

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

解题步骤 6.1.3.18

化简。

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解题步骤 6.1.3.18.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

解题步骤 6.1.3.18.2

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

解题步骤 6.1.3.18.3

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 6.1.3.18.4

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.18.4.1

从 $2 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 6.1.3.18.4.2

约去公因数。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 6.1.3.18.4.3

重写表达式。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{2 \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 6.1.3.18.5

使用正弦倍角公式。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 x - 2 π}{\sin (2 x)}$

解题步骤 6.1.4

从 $2 x - 2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.1.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) - 2 π}{\sin (2 x)}$

解题步骤 6.1.4.2

从 $- 2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x) + 2 (- π)}{\sin (2 x)}$

解题步骤 6.1.4.3

从 $2 (x) + 2 (- π)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{2 (x - π)}{\sin (2 x)}$

解题步骤 6.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)}$

解题步骤 6.3

运用洛必达法则。

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解题步骤 6.3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 6.3.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

解题步骤 6.3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 6.3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 6.3.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $π$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - lim_{x \to π^{+}} π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

解题步骤 6.3.1.2.1.2

计算 $π$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $π$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{lim_{x \to π^{+}} x - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

解题步骤 6.3.1.2.2

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{π - π}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

解题步骤 6.3.1.2.3

从 $π$ 中减去 $π$ 。

$2 \frac{0}{lim_{x \to π^{+}} \sin (2 x)}$

解题步骤 6.3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 6.3.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 6.3.1.3.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$2 \frac{0}{\sin (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

解题步骤 6.3.1.3.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

解题步骤 6.3.1.3.2

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{\sin (2 π)}$

解题步骤 6.3.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 6.3.1.3.3.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 6.3.1.3.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 6.3.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 6.3.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 6.3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 6.3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to π^{+}} \frac{x - π}{\sin (2 x)} = lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 6.3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 6.3.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 6.3.3.2

根据加法法则， $x - π$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ 。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 6.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- π]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 6.3.3.4

因为 $- π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- π$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 6.3.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

解题步骤 6.3.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 6.3.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 6.3.3.6.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 6.3.3.6.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

解题步骤 6.3.3.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 6.3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

解题步骤 6.3.3.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x) \cdot 2}$

解题步骤 6.3.3.10

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

解题步骤 6.4

计算极限值。

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解题步骤 6.4.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to π^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

解题步骤 6.4.2

当 $x$ 趋于 $π$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to π^{+}} 1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

解题步骤 6.4.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $π$ 时此极限值为常数。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to π^{+}} \cos (2 x)}$

解题步骤 6.4.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (lim_{x \to π^{+}} 2 x)}$

解题步骤 6.4.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 lim_{x \to π^{+}} x)}$

解题步骤 6.5

将 $π$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

解题步骤 6.6

化简答案。

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解题步骤 6.6.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.6.1.1

约去公因数。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\cos (2 π)}$

解题步骤 6.6.1.2

重写表达式。

$1 \frac{1}{\cos (2 π)}$

解题步骤 6.6.2

将 $\frac{1}{\cos (2 π)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{\cos (2 π)}$

解题步骤 6.6.3

将 $\frac{1}{\cos (2 π)}$ 转换成 $\sec (2 π)$ 。

$\sec (2 π)$

解题步骤 6.6.4

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sec (0)$

解题步骤 6.6.5

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 7

因为左极限等于右极限，所以极限等于 $1$ 。

$1$

微积分学 示例

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