微积分学示例

$\frac{\frac{lim_{h \to 0} 1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

解题步骤 1

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{\frac{1}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}} - \frac{1}{4}}{h}$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{1^{2}}{{(h + 2)}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{h + 2})}^{2}$ 。

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - \frac{1}{4}}{h}$

解题步骤 2.1.3

将 $\frac{1}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

$\frac{{(\frac{1}{h + 2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}{h}$

解题步骤 2.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{1}{h + 2}$ 和 $b = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{(\frac{1}{h + 2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

解题步骤 2.1.5

化简。

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解题步骤 2.1.5.1

要将 $\frac{1}{h + 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

解题步骤 2.1.5.2

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{h + 2}{h + 2}$ 。

$\frac{(\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

解题步骤 2.1.5.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(h + 2) \cdot 2$ 的形式。

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解题步骤 2.1.5.3.1

将 $\frac{1}{h + 2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

解题步骤 2.1.5.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{h + 2}{h + 2}$ 。

$\frac{(\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

解题步骤 2.1.5.3.3

重新排序 $(h + 2) \cdot 2$ 的因式。

$\frac{(\frac{2}{2 (h + 2)} + \frac{h + 2}{2 (h + 2)}) (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

解题步骤 2.1.5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 + h + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

解题步骤 2.1.5.5

重新排序项。

$\frac{\frac{h + 2 + 2}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

解题步骤 2.1.5.6

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} - \frac{1}{2})}{h}$

解题步骤 2.1.5.7

要将 $\frac{1}{h + 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}{h}$

解题步骤 2.1.5.8

要将 $- \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{h + 2}{h + 2}$ 。

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{1}{h + 2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

解题步骤 2.1.5.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(h + 2) \cdot 2$ 的形式。

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解题步骤 2.1.5.9.1

将 $\frac{1}{h + 2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{h + 2}{h + 2})}{h}$

解题步骤 2.1.5.9.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{h + 2}{h + 2}$ 。

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{(h + 2) \cdot 2} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

解题步骤 2.1.5.9.3

重新排序 $(h + 2) \cdot 2$ 的因式。

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} (\frac{2}{2 (h + 2)} - \frac{h + 2}{2 (h + 2)})}{h}$

解题步骤 2.1.5.10

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}}{h}$

解题步骤 2.1.5.11

以因式分解的形式重写 $\frac{2 - (h + 2)}{2 (h + 2)}$ 。

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解题步骤 2.1.5.11.1

运用分配律。

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 1 \cdot 2}{2 (h + 2)}}{h}$

解题步骤 2.1.5.11.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{2 - h - 2}{2 (h + 2)}}{h}$

解题步骤 2.1.5.11.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h + 0}{2 (h + 2)}}{h}$

解题步骤 2.1.5.11.4

将 $- h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{- h}{2 (h + 2)}}{h}$

解题步骤 2.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot - 1 \frac{h}{2 (h + 2)}}{h}$

解题步骤 2.1.7

合并指数。

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解题步骤 2.1.7.1

提取负因数。

$\frac{- (\frac{h + 4}{2 (h + 2)} \cdot \frac{h}{2 (h + 2)})}{h}$

解题步骤 2.1.7.2

将 $\frac{h + 4}{2 (h + 2)}$ 乘以 $\frac{h}{2 (h + 2)}$ 。

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{2 (h + 2) (2 (h + 2))}}{h}$

解题步骤 2.1.7.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 (h + 2) (h + 2)}}{h}$

解题步骤 2.1.7.4

对 $h + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} (h + 2))}}{h}$

解题步骤 2.1.7.5

对 $h + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 ({(h + 2)}^{1} {(h + 2)}^{1})}}{h}$

解题步骤 2.1.7.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{1 + 1}}}{h}$

解题步骤 2.1.7.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}}{h}$

解题步骤 2.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 2.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

将 $- \frac{(h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- (h + 4) h}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 2.3.2

从 $- (h + 4) h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 2.3.3

约去公因数。

$\frac{h (- (h + 4))}{4 {(h + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 2.3.4

重写表达式。

$\frac{- (h + 4)}{4 {(h + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{h + 4}{4 {(h + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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