微积分学示例

$lim_{y \to 0} 5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

解题步骤 1

设置极限为左极限。

$lim_{y \to 0^{-}} 5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

解题步骤 2

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 2.1

将 $0$ 代入 $y$ 来计算 $5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$ 的极限值。

$5 \cdot 0^{2 \cot (- 5 \cdot 0) \csc (- 8 \cdot 0)}$

解题步骤 2.2

将 $\cot (- 5 \cdot 0)$ 重写为正弦和余弦形式。

$5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{\sin (- 5 \cdot 0)} \csc (- 8 \cdot 0)}$

解题步骤 2.3

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{\sin (0)} \csc (- 8 \cdot 0)}$

解题步骤 2.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{0} \csc (- 8 \cdot 0)}$

解题步骤 2.5

因为 $5 \cdot 0^{2 \frac{\cos (- 5 \cdot 0)}{0} \csc (- 8 \cdot 0)}$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 3

设置极限为右极限。

$lim_{y \to 0^{+}} 5 y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

解题步骤 4

计算右极限。

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解题步骤 4.1

因为项 $5$ 对于 $y$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 lim_{y \to 0^{+}} y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$

解题步骤 4.2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 4.2.1

将 $y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))}$ 重写为 $e^{\ln (y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))})}$ 。

$5 lim_{y \to 0^{+}} e^{\ln (y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))})}$

解题步骤 4.2.2

通过将 $2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))$ 移到对数外来展开 $\ln (y^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y))})$ 。

$5 lim_{y \to 0^{+}} e^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y)) \ln (y)}$

解题步骤 4.3

因为指数 $2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y)) \ln (y)$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{2 (\cot (- 5 y)) (\csc (- 8 y)) \ln (y)}$ 趋于 $0$ 。

$5 \cdot 0$

解题步骤 4.4

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

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