微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x - 1 - \ln (x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

解题步骤 1.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 - \ln (x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} \ln (x)}$

解题步骤 1.1.3.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 1} \ln (x)}$

解题步骤 1.1.3.3

将极限移入对数中。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1 - \ln (lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 1.1.3.4

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \ln (lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \ln (1)}$

解题步骤 1.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1 - \ln (1)}$

解题步骤 1.1.3.5.1.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

解题步骤 1.1.3.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

解题步骤 1.1.3.5.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.1.3.5.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x - 1 - \ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

解题步骤 1.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x - 1 - \ln (x)]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x - 1 - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}$

解题步骤 1.3.9

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.9.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

解题步骤 1.3.9.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 + 0 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 1.3.10

化简。

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解题步骤 1.3.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$

解题步骤 1.3.10.2

重新排序项。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- \frac{1}{x} + 1}$

解题步骤 1.4

合并项。

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解题步骤 1.4.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- \frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

解题步骤 1.4.2

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{- 1 + x}{x}}$

解题步骤 2

因为函数从左边趋于 $- \infty$ 且从右边趋于 $\infty$ ，所以极限不存在。

$不存在$

微积分学 示例

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