微积分学示例

$lim_{x \to 1} (\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}) (1)$

解题步骤 1

将 $\frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} \log_{4} (x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

将极限移入对数中。

$\frac{\log_{4} (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\log_{4} (1)}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

解题步骤 2.1.2.3

$1$ 的对数底 $4$ 的值为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \log_{2} (x)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

将极限移入对数中。

$\frac{0}{\log_{2} (lim_{x \to 1} x)}$

解题步骤 2.1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\log_{2} (1)}$

解题步骤 2.1.3.3

$1$ 的对数底 $2$ 的值为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{\log_{4} (x)}{\log_{2} (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\log_{4} (x)]}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

解题步骤 2.3.2

$\log_{4} (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln (4)}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{d}{d x} [\log_{2} (x)]}$

解题步骤 2.3.3

$\log_{2} (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x \ln (2)}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \ln (4)}}{\frac{1}{x \ln (2)}}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \ln (4)} (x \ln (2))$

解题步骤 2.5

合并因数。

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解题步骤 2.5.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x \ln (4)}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x}{x \ln (4)} \ln (2)$

解题步骤 2.5.2

组合 $\frac{x}{x \ln (4)}$ 和 $\ln (2)$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

解题步骤 2.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

约去公因数。

$lim_{x \to 1} \frac{x \ln (2)}{x \ln (4)}$

解题步骤 2.6.2

重写表达式。

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\ln (2)}{\ln (4)}$

解题步骤 3.2

化简答案。

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解题步骤 3.2.1

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$\frac{\ln (2)}{\ln (2^{2})}$

解题步骤 3.2.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

解题步骤 3.2.3

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{\ln (2)}{2 \ln (2)}$

解题步骤 3.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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