微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}$

解题步骤 1

相乘以使分子有理化。

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} - x^{3}) (\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3})}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 FOIL（先外后内）展开分子。

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}}}^{2} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} x^{3} + \sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} (- x^{3}) - x^{6}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $x^{6}$ 中减去 $x^{6}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3} + 0}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

解题步骤 2.2.2

将 $- 5 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{6} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

从 $x^{6} - 5 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} - 5 x^{3}} + x^{3}}$

解题步骤 3.1.1.2

从 $- 5 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5} + x^{3}}$

解题步骤 3.1.1.3

从 $x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 5$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{3} (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

解题步骤 3.1.2

将 $x^{3} (x^{3} - 5)$ 重写为 $x^{2} (x (x^{3} - 5))$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

因式分解出 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

解题步骤 3.1.2.2

添加圆括号。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{\sqrt{x^{2} (x (x^{3} - 5))} + x^{3}}$

解题步骤 3.1.3

从根式下提出各项。

$lim_{x \to \infty} \frac{- 5 x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

解题步骤 3.2

因为项 $- 5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{x \sqrt{x (x^{3} - 5)} + x^{3}}$

解题步骤 4

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3}$ 。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

约去公因数。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 5.1.2

重写表达式。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x \sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 5.2

化简每一项。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + 1}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

解题步骤 6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1} x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

解题步骤 6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{1 + 3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

解题步骤 6.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + 1}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $- 5$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

解题步骤 7.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 5 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

解题步骤 7.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + 1}$

解题步骤 7.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{4} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.5

从 $x^{4} - 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 7.5.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} - 5 x}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.5.2

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 5}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 7.5.3

从 $x \cdot x^{3} + x \cdot - 5$ 中分解出因数 $x$ 。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (x^{3} - 5)}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 8

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ 。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 9

约去 $x^{2}$ 的公因数。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x^{4}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 10

约去公因数。

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解题步骤 10.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 10.2

约去公因数。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (x^{3} - 5)}{x \cdot x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 10.3

重写表达式。

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 11

计算极限值。

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解题步骤 11.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 5 \frac{1}{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 11.2

将极限移入根号内。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} - 5}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 12

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3}$ 。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 13

计算极限值。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.1

约去公因数。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 13.1.1.2

重写表达式。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{- 5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 13.1.2

将负号移到分数的前面。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 13.2

约去 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

约去公因数。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 13.2.2

重写表达式。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 13.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 13.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 13.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 13.6

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 14

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 15

计算极限值。

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解题步骤 15.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 15.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 15.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1} + 1}$

解题步骤 15.4

化简答案。

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解题步骤 15.4.1

用 $1 - 5 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$- 5 \frac{1}{\frac{\sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1} + 1}$

解题步骤 15.4.2

用 $\sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ 除以 $1$ 。

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 - 5 \cdot 0} + 1}$

解题步骤 15.4.3

化简分母。

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解题步骤 15.4.3.1

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

解题步骤 15.4.3.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 5 \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

解题步骤 15.4.3.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$- 5 \frac{1}{1 + 1}$

解题步骤 15.4.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 5 (\frac{1}{2})$

解题步骤 15.4.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 5}{2}$

解题步骤 15.4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{2}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{5}{2}$

小数形式：

$- 2.5$

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