微积分学示例

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{6 \sin (x)}{9 | x |}$

解题步骤 1

约去 $6$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

从 $6 \sin (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (2 \sin (x))}{9 | x |}$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $9 | x |$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (2 \sin (x))}{3 (3 | x |)}$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 (2 \sin (x))}{3 (3 | x |)}$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x)}{3 | x |}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{3} lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{| x |}$

解题步骤 3

制作一个表格展示函数 $\frac{\sin (x)}{| x |}$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{\sin (x)}{| x |} \\ 0.1 & 0.99833416 \\ 0.01 & 0.99998333 \\ 0.001 & 0.99999983 \end{array}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $\frac{\sin (x)}{| x |}$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 5

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{3}$

小数形式：

$0.\overline{6}$

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