微积分学示例

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

解题步骤 1

计算 $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2

化简答案。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ 。

$\frac{1}{t \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.1.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $\frac{1}{t \sqrt{1 + t}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t}} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.1.2.2

移动 $\sqrt{1 + t}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (\sqrt{1 + t} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.1.2.3

对 $\sqrt{1 + t}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} \sqrt{1 + t})} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.1.2.4

对 $\sqrt{1 + t}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t ({\sqrt{1 + t}}^{1} {\sqrt{1 + t}}^{1})} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.1.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{1 + 1}} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.1.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {\sqrt{1 + t}}^{2}} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.1.2.7

将 ${\sqrt{1 + t}}^{2}$ 重写为 $1 + t$ 。

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解题步骤 2.1.2.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + t}$ 重写成 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.1.2.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.1.2.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.1.2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{\frac{2}{2}}} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.1.2.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t {(1 + t)}^{1}} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.1.2.7.5

化简。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.2

要将 $- \frac{1}{t}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + t}{1 + t}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1}{t} \cdot \frac{1 + t}{1 + t}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{t}$ 乘以 $\frac{1 + t}{1 + t}$ 。

$\frac{\sqrt{1 + t}}{t (1 + t)} - \frac{1 + t}{t (1 + t)}$

解题步骤 2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\sqrt{1 + t} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + t}$ 重写成 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - (1 + t)}{t (1 + t)}$

解题步骤 2.5.2

将 $1 + t$ 重写为 ${({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} - {({(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{t (1 + t)}$

解题步骤 2.5.3

使 $u = {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{u - u^{2}}{t (1 + t)}$

解题步骤 2.5.4

从 $u - u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 2.5.4.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{u^{1} - u^{2}}{t (1 + t)}$

解题步骤 2.5.4.2

从 $u^{1}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{u \cdot 1 - u^{2}}{t (1 + t)}$

解题步骤 2.5.4.3

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{u \cdot 1 + u (- u)}{t (1 + t)}$

解题步骤 2.5.4.4

从 $u \cdot 1 + u (- u)$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{u (1 - u)}{t (1 + t)}$

解题步骤 2.5.5

使用 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{t (1 + t)}$

解题步骤 2.6

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t (1 + t) {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.7

通过指数相加将 $1 + t$ 乘以 ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.7.1

移动 ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (1 + t))}$

解题步骤 2.7.2

将 ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $1 + t$ 。

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解题步骤 2.7.2.1

对 $1 + t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t ({(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} {(1 + t)}^{1})}$

解题步骤 2.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 2.7.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.7.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{- 1 + 2}{2}}}$

解题步骤 2.7.5

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1 - {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{t {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$

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