微积分学示例

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (x)$

解题步骤 1

将 $\tan (x) \ln (x)$ 重写为 $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

解题步骤 2.1.2

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (x)$ 无限递减。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

应用三角恒等式。

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解题步骤 2.1.3.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

解题步骤 2.1.3.1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 2.1.3.1.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

解题步骤 2.1.3.2

当 $x$ 的值从右侧趋于 $0$ 时，函数值无限递增。

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 2.1.3.3

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{- \infty}{\infty}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

解题步骤 2.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

解题步骤 2.3.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}$

解题步骤 2.3.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.5

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.6

化简。

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解题步骤 2.3.6.1

重写表达式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.6.2

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}$

解题步骤 2.3.7

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.8

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.10

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.13

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.14

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.15

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.18

化简。

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解题步骤 2.3.18.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.18.1.1

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.18.1.2

从 $- \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.18.1.3

从 $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.18.1.4

使用勾股恒等式。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.18.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.3.18.2

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \sin^{2} (x))$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\sin^{2} (x)$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

解题步骤 3

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 4.1.2.1.1

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (x)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$- \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.2.1.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 4.1.2.3.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.2.3.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}$

解题步骤 4.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \frac{0}{0}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{0}{0}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.4

化简。

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解题步骤 4.3.4.1

重新排序 $2 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.4.2

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \cdot 2 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.4.3

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.4.4

使用正弦倍角公式。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (2 x)}{1}$

解题步骤 4.4

用 $\sin (2 x)$ 除以 $1$ 。

$- lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

解题步骤 5.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- \sin (2 \cdot 0)$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- \sin (0)$

解题步骤 7.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- 0$

解题步骤 7.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0$

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