微积分学示例

$lim_{x \to 0^{+}} 12 {\sin (x)}^{14 x}$

解题步骤 1

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$12 lim_{x \to 0^{+}} {\sin (x)}^{14 x}$

解题步骤 2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 2.1

将 ${\sin (x)}^{14 x}$ 重写为 $e^{\ln ({\sin (x)}^{14 x})}$ 。

$12 lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (x)}^{14 x})}$

解题步骤 2.2

通过将 $14 x$ 移到对数外来展开 $\ln ({\sin (x)}^{14 x})$ 。

$12 lim_{x \to 0^{+}} e^{14 x \ln (\sin (x))}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

将极限移入指数中。

$12 e^{lim_{x \to 0^{+}} 14 x \ln (\sin (x))}$

解题步骤 3.2

因为项 $14$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$12 e^{14 lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))}$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $x \ln (\sin (x))$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $x \ln (\sin (x))$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$12 e^{14 \cdot 0}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $14$ 乘以 $0$ 。

$12 e^{0}$

解题步骤 6.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$12 \cdot 1$

解题步骤 6.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$12$

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