微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{\tan^{2} (2 x - 2)}{x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} \tan^{2} (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

使用极限幂法则把 $\tan^{2} (2 x - 2)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2))}^{2}}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.1.2

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.1.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\tan^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.1.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\tan^{2} (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.1.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{\tan^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\tan^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\tan^{2} (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\tan^{2} (2 - 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.3.3

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.2.3.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 1.1.3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.3.5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x + 1}$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 1.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.6.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{0}{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

解题步骤 1.1.3.6.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 2 + 1}$

解题步骤 1.1.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{- 1 + 1}$

解题步骤 1.1.3.6.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{\tan^{2} (2 x - 2)}{x^{2} - 2 x + 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (2 x - 2)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (2 x - 2)$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\tan (2 x - 2)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x - 2$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x - 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x - 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.3.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x - 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.3.3

使用 $2 x - 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) (\sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.4

根据加法法则， $2 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.9

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.10

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.11

重新排序 $4 \tan (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2)$ 的因式。

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

解题步骤 1.3.12

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.14

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.14.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.14.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.14.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]}$

解题步骤 1.3.15

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2 + 0}$

解题步骤 1.3.16

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{2 x - 2}$

解题步骤 1.4

约去 $4$ 和 $2 x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 x - 2}$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 (x) - 2}$

解题步骤 1.4.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 (x) + 2 (- 1)}$

解题步骤 1.4.2.3

从 $2 (x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 (x - 1)}$

解题步骤 1.4.2.4

约去公因数。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2))}{2 (x - 1)}$

解题步骤 1.4.2.5

重写表达式。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{x - 1}$

解题步骤 2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{x - 1}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$2 \frac{lim_{x \to 1} \sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$2 \frac{lim_{x \to 1} \sec^{2} (2 x - 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.2

使用极限幂法则把 $\sec^{2} (2 x - 2)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 \frac{{(lim_{x \to 1} \sec (2 x - 2))}^{2} \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.3

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.4

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.6

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 1} \tan (2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.7

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot \tan (lim_{x \to 1} 2 x - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.8

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot \tan (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.9

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.10

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{\sec^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.11

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.11.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.11.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{\sec^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.12

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.12.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.12.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{\sec^{2} (2 - 1 \cdot 2) \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.12.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{\sec^{2} (2 - 2) \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.12.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$2 \frac{\sec^{2} (0) \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.12.3

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 \frac{1^{2} \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.12.4

一的任意次幂都为一。

$2 \frac{1 \cdot \tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.12.5

将 $\tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{\tan (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.12.6

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.12.6.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{\tan (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.12.6.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{\tan (2 - 2)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.12.7

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$2 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.2.12.8

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

解题步骤 3.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 3.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$2 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2) \tan (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sec^{2} (2 x - 2)$ 且 $g (x) = \tan (2 x - 2)$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\tan (2 x - 2)] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 2 x - 2$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x - 2$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.3.2

$\tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{1})$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $2 x - 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.4

通过指数相加将 $\sec^{2} (2 x - 2)$ 乘以 $\sec^{2} (2 x - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 lim_{x \to 1} \frac{{\sec (2 x - 2)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2] + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.5

根据加法法则， $2 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.9

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) (2 + 0) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.10

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\sec^{4} (2 x - 2) \cdot 2 + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.11

将 $2$ 移到 $\sec^{4} (2 x - 2)$ 的左侧。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot \sec^{4} (2 x - 2) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.12

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sec (2 x - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.12.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\sec (2 x - 2)$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + \tan (2 x - 2) \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.12.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + \tan (2 x - 2) \cdot 2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.12.3

使用 $\sec (2 x - 2)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + \tan (2 x - 2) \cdot 2 \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.13

将 $2$ 移到 $\tan (2 x - 2)$ 的左侧。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \cdot \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [\sec (2 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.14

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sec (x)$ 且 $g (x) = 2 x - 2$ 。

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解题步骤 3.3.14.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $2 x - 2$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.14.2

$\sec (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.14.3

使用 $2 x - 2$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \tan (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.15

对 $\tan (2 x - 2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{1} (2 x - 2) \tan (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.16

对 $\tan (2 x - 2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{1} (2 x - 2) \tan^{1} (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 {\tan (2 x - 2)}^{1 + 1} \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.19

对 $\sec (2 x - 2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{1} (2 x - 2) \sec (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.20

对 $\sec (2 x - 2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{1} (2 x - 2) \sec^{1} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) {\sec (2 x - 2)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.22

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.23

根据加法法则， $2 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.24

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.25

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.26

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.27

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.28

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 2 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.29

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sec^{4} (2 x - 2) + 4 \tan^{2} (2 x - 2) \sec^{2} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30

化简。

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解题步骤 3.3.30.1

重新排序项。

$2 lim_{x \to 1} \frac{4 \sec^{2} (2 x - 2) \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.30.2.1

将 $\sec (2 x - 2)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 lim_{x \to 1} \frac{4 {(\frac{1}{\cos (2 x - 2)})}^{2} \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.2.2

对 $\frac{1}{\cos (2 x - 2)}$ 运用乘积法则。

$2 lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x - 2)} \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.2.3

一的任意次幂都为一。

$2 lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{1}{\cos^{2} (2 x - 2)} \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.2.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (2 x - 2)}$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (2 x - 2)} \tan^{2} (2 x - 2) + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.2.5

将 $\tan (2 x - 2)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (2 x - 2)} {(\frac{\sin (2 x - 2)}{\cos (2 x - 2)})}^{2} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.2.6

对 $\frac{\sin (2 x - 2)}{\cos (2 x - 2)}$ 运用乘积法则。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{\cos^{2} (2 x - 2)} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{2} (2 x - 2)} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.2.7

合并。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{2} (2 x - 2) \cos^{2} (2 x - 2)} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.2.8

通过指数相加将 $\cos^{2} (2 x - 2)$ 乘以 $\cos^{2} (2 x - 2)$ 。

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解题步骤 3.3.30.2.8.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{{\cos (2 x - 2)}^{2 + 2}} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.2.8.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + 2 \sec^{4} (2 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.2.9

将 $\sec (2 x - 2)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + 2 {(\frac{1}{\cos (2 x - 2)})}^{4}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.2.10

对 $\frac{1}{\cos (2 x - 2)}$ 运用乘积法则。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.2.11

一的任意次幂都为一。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + 2 \frac{1}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.2.12

组合 $2$ 和 $\frac{1}{\cos^{4} (2 x - 2)}$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2)}{\cos^{4} (2 x - 2)} + \frac{2}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.3

在公分母上合并分子。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 \sin^{2} (2 x - 2) + 2}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.4

从 $4 \sin^{2} (2 x - 2) + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.3.30.4.1

从 $4 \sin^{2} (2 x - 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \cdot 2 \sin^{2} (2 x - 2) + 2}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.4.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 \cdot 2 \sin^{2} (2 x - 2) + 2 (1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.30.4.3

从 $2 (2 \sin^{2} (2 x - 2)) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

解题步骤 3.3.31

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.32

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 3.3.33

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{1 + 0}$

解题步骤 3.3.34

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}}{1}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)} \cdot 1$

解题步骤 3.5

将 $\frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}$ 乘以 $1$ 。

$2 lim_{x \to 1} \frac{2 (2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1)}{\cos^{4} (2 x - 2)}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \cdot 2 lim_{x \to 1} \frac{2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1}{\cos^{4} (2 x - 2)}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$2 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 1} 2 \sin^{2} (2 x - 2) + 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 1} 2 \sin^{2} (2 x - 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

解题步骤 4.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \cdot 2 \frac{2 lim_{x \to 1} \sin^{2} (2 x - 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

解题步骤 4.5

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (2 x - 2)$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 \cdot 2 \frac{2 {(lim_{x \to 1} \sin (2 x - 2))}^{2} + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

解题步骤 4.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

解题步骤 4.7

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

解题步骤 4.8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

解题步骤 4.9

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

解题步骤 4.10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{lim_{x \to 1} \cos^{4} (2 x - 2)}$

解题步骤 4.11

使用极限幂法则把 $\cos^{4} (2 x - 2)$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{{(lim_{x \to 1} \cos (2 x - 2))}^{4}}$

解题步骤 4.12

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (lim_{x \to 1} 2 x - 2)}$

解题步骤 4.13

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 2)}$

解题步骤 4.14

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2)}$

解题步骤 4.15

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 5

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 5.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 \cdot 2 \frac{2 \sin^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \frac{2 \sin^{2} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{2 \sin^{2} (2 - 1 \cdot 2) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 \frac{2 \sin^{2} (2 - 2) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 6.2.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$4 \frac{2 \sin^{2} (0) + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 6.2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$4 \frac{2 \cdot 0^{2} + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 6.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 \frac{2 \cdot 0 + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 6.2.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$4 \frac{0 + 1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 6.2.6

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{1}{\cos^{4} (2 \cdot 1 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 6.3

化简分母。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{1}{\cos^{4} (2 - 1 \cdot 2)}$

解题步骤 6.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 \frac{1}{\cos^{4} (2 - 2)}$

解题步骤 6.3.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$4 \frac{1}{\cos^{4} (0)}$

解题步骤 6.3.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$4 \frac{1}{1^{4}}$

解题步骤 6.3.4

一的任意次幂都为一。

$4 (\frac{1}{1})$

解题步骤 6.4

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

约去公因数。

$4 (\frac{1}{1})$

解题步骤 6.4.2

重写表达式。

$4 \cdot 1$

解题步骤 6.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

微积分学 示例

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