微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x \cot (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 1.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\cos (0)}$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $x \cot (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $x \cot (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $x \cot (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $x \cot (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$\frac{1}{\cos (0)}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{\cos (0)}$ 转换成 $\sec (0)$ 。

$\sec (0)$

解题步骤 9.2

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

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