微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x + x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} x + x \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.4.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.5.1.2

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.1.2.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

解题步骤 1.1.3.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (0) \cdot \cos (0)}$

解题步骤 1.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.5.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0)}$

解题步骤 1.1.3.5.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.5.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.5.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x + x \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x + x \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [x \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.4.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.4.4

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{1 + x (- \sin (x)) + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.5

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}$

解题步骤 1.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 1.3.7

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 1.3.8

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 1.3.9

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 1.3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 1.3.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

解题步骤 1.3.12

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.3.13

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}$

解题步骤 1.3.14

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

解题步骤 1.3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.3.16

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

解题步骤 1.3.17

化简。

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解题步骤 1.3.17.1

将 $- \sin^{2} (x)$ 和 $\cos^{2} (x)$ 重新排序。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.3.17.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

解题步骤 1.3.17.3

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 。

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解题步骤 1.3.17.3.1

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}$

解题步骤 1.3.17.3.2

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}$

解题步骤 1.3.17.3.3

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

解题步骤 1.3.17.4

合并 $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.17.4.1

按照 $\cos (x) (- \sin (x))$ 和 $\sin (x) \cos (x)$ 重新排列因数。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

解题步骤 1.3.17.4.2

将 $- \cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))}$

解题步骤 1.3.17.4.3

将 $\cos (x) \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

解题步骤 1.3.17.5

化简每一项。

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解题步骤 1.3.17.5.1

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.3.17.5.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

解题步骤 1.3.17.5.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

解题步骤 1.3.17.5.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))}$

解题步骤 1.3.17.5.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}$

解题步骤 1.3.17.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 1.3.17.5.3

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.3.17.5.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}$

解题步骤 1.3.17.5.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}$

解题步骤 1.3.17.5.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.3.17.5.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}$

解题步骤 1.3.17.6

使用余弦倍角公式。

$lim_{x \to 0} \frac{- x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{\cos (2 x)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 1 + \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

解题步骤 2.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

解题步骤 2.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

解题步骤 2.7

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

解题步骤 2.8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (0)}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 \cdot 0 + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

解题步骤 4.1.2

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 1 + \cos (0)}{\cos (2 \cdot 0)}$

解题步骤 4.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 + 1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

解题步骤 4.1.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + 1}{\cos (2 \cdot 0)}$

解题步骤 4.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{\cos (2 \cdot 0)}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{\cos (0)}$

解题步骤 4.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2}{1}$

解题步骤 4.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

微积分学 示例

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