微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (8 x) - 8 x \cos (8 x)}{8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (8 x) - 8 x \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (8 x) - lim_{x \to 0} 8 x \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 8 x) - lim_{x \to 0} 8 x \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (8 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 8 x \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.4

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (8 lim_{x \to 0} x) - 8 lim_{x \to 0} x \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{\sin (8 lim_{x \to 0} x) - 8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.6

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\sin (8 lim_{x \to 0} x) - 8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.7

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sin (8 lim_{x \to 0} x) - 8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.8

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (8 \cdot 0) - 8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (8 \cdot 0) - 8 \cdot 0 \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.8.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (8 \cdot 0) - 8 \cdot 0 \cdot \cos (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.9

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.9.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.9.1.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sin (0) - 8 \cdot 0 \cdot \cos (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.9.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 - 8 \cdot 0 \cdot \cos (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.9.1.3

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.9.1.4

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.9.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.9.1.6

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.2.9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 8 x - \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 8 x - lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.3.2

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{8 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 1.1.3.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{8 lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 8 x)}$

解题步骤 1.1.3.4

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{8 lim_{x \to 0} x - \sin (8 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{8 \cdot 0 - \sin (8 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{8 \cdot 0 - \sin (8 \cdot 0)}$

解题步骤 1.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.6.1.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 - \sin (8 \cdot 0)}$

解题步骤 1.1.3.6.1.2

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

解题步骤 1.1.3.6.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 0}$

解题步骤 1.1.3.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.1.3.6.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (8 x) - 8 x \cos (8 x)}{8 x - \sin (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (8 x) - 8 x \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (8 x) - 8 x \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sin (8 x) - 8 x \cos (8 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x \cos (8 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $8 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.3.1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.3.1.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.3.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 x \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) (8 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8 x \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.3.4

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (8 x) \cdot 8 + \frac{d}{d x} [- 8 x \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.3.5

将 $8$ 移到 $\cos (8 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x \cos (8 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x \cos (8 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x \cos (8 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) - 8 \frac{d}{d x} [x \cos (8 x)]}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) - 8 (x \frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 1.3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $8 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) - 8 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.4.3.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) - 8 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.4.3.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) - 8 (x (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.4.4

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) - 8 (x (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) - 8 (x (- \sin (8 x) (8 \cdot 1)) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) - 8 (x (- \sin (8 x) (8 \cdot 1)) + \cos (8 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.4.7

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) - 8 (x (- \sin (8 x) \cdot 8) + \cos (8 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.4.8

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) - 8 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.4.9

将 $\cos (8 x)$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) - 8 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x))}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.5

化简。

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解题步骤 1.3.5.1

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) - 8 (x (- 8 \sin (8 x))) - 8 \cos (8 x)}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.5.2

合并项。

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解题步骤 1.3.5.2.1

将 $- 8$ 乘以 $- 8$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (8 x) + 64 (x (\sin (8 x))) - 8 \cos (8 x)}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.5.2.2

从 $8 \cos (8 x)$ 中减去 $8 \cos (8 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x) + 0}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.5.2.3

将 $64 x \sin (8 x)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{\frac{d}{d x} [8 x - \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $8 x - \sin (8 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (8 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.7

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.7.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{8 + \frac{d}{d x} [- \sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (8 x)]$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (8 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{8 - \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 1.3.8.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 1.3.8.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{8 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 1.3.8.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{8 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 1.3.8.2.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{8 - (\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])}$

解题步骤 1.3.8.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{8 - (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))}$

解题步骤 1.3.8.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{8 - (\cos (8 x) (8 \cdot 1))}$

解题步骤 1.3.8.5

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{8 - (\cos (8 x) \cdot 8)}$

解题步骤 1.3.8.6

将 $8$ 移到 $\cos (8 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{8 - (8 \cdot \cos (8 x))}$

解题步骤 1.3.8.7

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{64 x \sin (8 x)}{8 - 8 \cos (8 x)}$

解题步骤 1.4

约去 $64$ 和 $8 - 8 \cos (8 x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $64 x \sin (8 x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 (8 x \sin (8 x))}{8 - 8 \cos (8 x)}$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 (8 x \sin (8 x))}{8 (1) - 8 \cos (8 x)}$

解题步骤 1.4.2.2

从 $- 8 \cos (8 x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 (8 x \sin (8 x))}{8 (1) + 8 (- \cos (8 x))}$

解题步骤 1.4.2.3

从 $8 (1) + 8 (- \cos (8 x))$ 中分解出因数 $8$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{8 (8 x \sin (8 x))}{8 (1 - \cos (8 x))}$

解题步骤 1.4.2.4

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{8 (8 x \sin (8 x))}{8 (1 - \cos (8 x))}$

解题步骤 1.4.2.5

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x \sin (8 x)}{1 - \cos (8 x)}$

解题步骤 2

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 lim_{x \to 0} \frac{x \sin (8 x)}{1 - \cos (8 x)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$8 \frac{lim_{x \to 0} x \sin (8 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (8 x)}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$8 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (8 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (8 x)}$

解题步骤 3.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$8 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (8 x)}$

解题步骤 3.1.2.3

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (8 x)}$

解题步骤 3.1.2.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \frac{0 \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (8 x)}$

解题步骤 3.1.2.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \frac{0 \cdot \sin (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (8 x)}$

解题步骤 3.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$8 \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (8 x)}$

解题步骤 3.1.2.5.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$8 \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (8 x)}$

解题步骤 3.1.2.5.3

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$8 \frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (8 x)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$8 \frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

解题步骤 3.1.3.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$8 \frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

解题步骤 3.1.3.1.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$8 \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 8 x)}$

解题步骤 3.1.3.1.4

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 \frac{0}{1 - \cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 3.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 \frac{0}{1 - \cos (8 \cdot 0)}$

解题步骤 3.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.3.1.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$8 \frac{0}{1 - \cos (0)}$

解题步骤 3.1.3.3.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$8 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$8 \frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 3.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$8 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$8 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$8 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$8 (\frac{0}{0})$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x \sin (8 x)}{1 - \cos (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$8 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (8 x)$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 x$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x] + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.3.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{x \cos (u) \frac{d}{d x} [8 x] + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{x \cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.4

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{x \cos (8 x) \cdot 8 \frac{d}{d x} [x] + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{x \cos (8 x) \cdot 8 \cdot 1 + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.6

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{x \cos (8 x) \cdot 8 + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.7

将 $8$ 移到 $\cos (8 x)$ 的左侧。

$8 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 8 \cdot \cos (8 x) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 8 \cos (8 x) + \sin (8 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.9

将 $\sin (8 x)$ 乘以 $1$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 8 \cos (8 x) + \sin (8 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.10

重新排序项。

$8 lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.11

根据加法法则， $1 - \cos (8 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (8 x)]$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.12

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.13

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (8 x)]$ 。

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解题步骤 3.3.13.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (8 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]}$

解题步骤 3.3.13.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 3.3.13.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 x$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{0 - \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}$

解题步骤 3.3.13.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{0 - - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [8 x]}$

解题步骤 3.3.13.2.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{0 - - 1 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]}$

解题步骤 3.3.13.3

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{0 - - 1 \sin (8 x) \cdot 8 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.13.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{0 - - 1 \sin (8 x) \cdot 8 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.13.5

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{0 - - 1 \sin (8 x) \cdot 8}$

解题步骤 3.3.13.6

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{0 - - 8 \sin (8 x)}$

解题步骤 3.3.13.7

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$8 lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{0 + 8 \sin (8 x)}$

解题步骤 3.3.14

将 $0$ 和 $8 \sin (8 x)$ 相加。

$8 lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{8 \sin (8 x)}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{\sin (8 x)}$

解题步骤 5

运用洛必达法则。

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解题步骤 5.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 5.1.1

取分子和分母极限值。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to 0} 8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 5.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to 0} 8 x \cos (8 x) + lim_{x \to 0} \sin (8 x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.2

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{8 lim_{x \to 0} x \cos (8 x) + lim_{x \to 0} \sin (8 x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} \sin (8 x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} \sin (8 x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.5

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (8 x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.7

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{8 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + \sin (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.8

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1.2.8.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{8 \cdot 0 \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + \sin (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.8.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{8 \cdot 0 \cdot \cos (8 \cdot 0) + \sin (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.8.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{8 \cdot 0 \cdot \cos (8 \cdot 0) + \sin (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.9

化简答案。

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解题步骤 5.1.2.9.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.9.1.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0 \cdot \cos (8 \cdot 0) + \sin (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.9.1.2

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0 \cdot \cos (0) + \sin (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.9.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0 \cdot 1 + \sin (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.9.1.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0 + \sin (8 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.9.1.5

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.9.1.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.2.9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

解题步骤 5.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 5.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 5.1.3.1.1

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 8 x)}$

解题步骤 5.1.3.1.2

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0}{\sin (8 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 5.1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0}{\sin (8 \cdot 0)}$

解题步骤 5.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 5.1.3.3.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 5.1.3.3.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0}{0}$

解题步骤 5.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$8 (\frac{1}{8}) \frac{0}{0}$

解题步骤 5.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)}{\sin (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 5.3.1

对分子和分母进行求导。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.2

根据加法法则， $8 x \cos (8 x) + \sin (8 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [8 x \cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 x \cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x \cos (8 x)]$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x \cos (8 x)$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x \cos (8 x)]$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 \frac{d}{d x} [x \cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (8 x)$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 5.3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $8 x$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x] + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.3.3.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 1 \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x] + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.3.3.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 1 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x] + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.3.4

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 1 \sin (8 x) \cdot 8 \frac{d}{d x} [x] + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 1 \sin (8 x) \cdot 8 \cdot 1 + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 1 \sin (8 x) \cdot 8 \cdot 1 + \cos (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.3.7

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 1 \sin (8 x) \cdot 8 + \cos (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.3.8

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 8 \sin (8 x) + \cos (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.3.9

将 $\cos (8 x)$ 乘以 $1$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 8 \sin (8 x) + \cos (8 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 5.3.4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $8 x$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 8 \sin (8 x) + \cos (8 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.4.1.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 8 \sin (8 x) + \cos (8 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.4.1.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 8 \sin (8 x) + \cos (8 x)) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.4.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 8 \sin (8 x) + \cos (8 x)) + \cos (8 x) \cdot 8 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 8 \sin (8 x) + \cos (8 x)) + \cos (8 x) \cdot 8 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.4.4

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 8 \sin (8 x) + \cos (8 x)) + \cos (8 x) \cdot 8}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.4.5

将 $8$ 移到 $\cos (8 x)$ 的左侧。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (x \cdot - 8 \sin (8 x) + \cos (8 x)) + 8 \cos (8 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.5

化简。

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解题步骤 5.3.5.1

运用分配律。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 x \cdot - 8 \sin (8 x) + 8 \cos (8 x) + 8 \cos (8 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.5.2

合并项。

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解题步骤 5.3.5.2.1

将 $- 8$ 乘以 $8$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{- 64 x \sin (8 x) + 8 \cos (8 x) + 8 \cos (8 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.5.2.2

将 $8 \cos (8 x)$ 和 $8 \cos (8 x)$ 相加。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{- 64 x \sin (8 x) + 16 \cos (8 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

解题步骤 5.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 8 x$ 。

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解题步骤 5.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $8 x$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{- 64 x \sin (8 x) + 16 \cos (8 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}$

解题步骤 5.3.6.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{- 64 x \sin (8 x) + 16 \cos (8 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]}$

解题步骤 5.3.6.3

使用 $8 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{- 64 x \sin (8 x) + 16 \cos (8 x)}{\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]}$

解题步骤 5.3.7

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{- 64 x \sin (8 x) + 16 \cos (8 x)}{\cos (8 x) \cdot 8 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 5.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{- 64 x \sin (8 x) + 16 \cos (8 x)}{\cos (8 x) \cdot 8 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.9

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{- 64 x \sin (8 x) + 16 \cos (8 x)}{\cos (8 x) \cdot 8}$

解题步骤 5.3.10

将 $8$ 移到 $\cos (8 x)$ 的左侧。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{- 64 x \sin (8 x) + 16 \cos (8 x)}{8 \cos (8 x)}$

解题步骤 5.4

约去 $- 64 x \sin (8 x) + 16 \cos (8 x)$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $- 64 x \sin (8 x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 \cdot - 8 x \sin (8 x) + 16 \cos (8 x)}{8 \cos (8 x)}$

解题步骤 5.4.2

从 $16 \cos (8 x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 \cdot - 8 x \sin (8 x) + 8 \cdot 2 \cos (8 x)}{8 \cos (8 x)}$

解题步骤 5.4.3

从 $8 (- 8 x \sin (8 x)) + 8 (2 \cos (8 x))$ 中分解出因数 $8$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (- 8 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x))}{8 \cos (8 x)}$

解题步骤 5.4.4

约去公因数。

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解题步骤 5.4.4.1

从 $8 \cos (8 x)$ 中分解出因数 $8$ 。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (- 8 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x))}{8 (\cos (8 x))}$

解题步骤 5.4.4.2

约去公因数。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{8 (- 8 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x))}{8 \cos (8 x)}$

解题步骤 5.4.4.3

重写表达式。

$8 (\frac{1}{8}) lim_{x \to 0} \frac{- 8 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x)}{\cos (8 x)}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to 0} - 8 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

解题步骤 6.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- lim_{x \to 0} 8 x \sin (8 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

解题步骤 6.3

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 lim_{x \to 0} x \sin (8 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

解题步骤 6.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (8 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

解题步骤 6.5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

解题步骤 6.6

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

解题步骤 6.7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

解题步骤 6.8

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} 8 x)}{lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

解题步骤 6.9

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

解题步骤 6.10

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 8 x)}$

解题步骤 6.11

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + 2 \cos (8 lim_{x \to 0} x)}{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + 2 \cos (8 \cdot 0)}{\cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + 2 \cos (8 \cdot 0)}{\cos (8 \cdot 0)}$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1

约去公因数。

$8 (\frac{1}{8}) \frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + 2 \cos (8 \cdot 0)}{\cos (8 \cdot 0)}$

解题步骤 8.1.2

重写表达式。

$1 \frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + 2 \cos (8 \cdot 0)}{\cos (8 \cdot 0)}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + 2 \cos (8 \cdot 0)}{\cos (8 \cdot 0)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + 2 \cos (8 \cdot 0)}{\cos (8 \cdot 0)}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + 2 \cos (8 \cdot 0)}{\cos (8 \cdot 0)}$

解题步骤 8.3.2

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (8 \cdot 0)}{\cos (8 \cdot 0)}$

解题步骤 8.3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 \cdot 0 + 2 \cos (8 \cdot 0)}{\cos (8 \cdot 0)}$

解题步骤 8.3.4

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 2 \cos (8 \cdot 0)}{\cos (8 \cdot 0)}$

解题步骤 8.3.5

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos (8 \cdot 0)}$

解题步骤 8.3.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 + 2 \cdot 1}{\cos (8 \cdot 0)}$

解题步骤 8.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 2}{\cos (8 \cdot 0)}$

解题步骤 8.3.8

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2}{\cos (8 \cdot 0)}$

解题步骤 8.4

化简分母。

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解题步骤 8.4.1

将 $8$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{\cos (0)}$

解题步骤 8.4.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2}{1}$

解题步骤 8.5

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

微积分学 示例

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