微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x) \sin (4 x)}{\sin (4 x) \sin (6 x)}$

解题步骤 1

约去 $\sin (4 x)$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

约去公因数。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x) \sin (4 x)}{\sin (4 x) \sin (6 x)}$

解题步骤 1.2

重写表达式。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{\sin (6 x)}$

解题步骤 2

应用三角恒等式。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{\sin (5 x)}{\sin (6 x)}$ 重写为乘积形式。

$lim_{x \to 0} \sin (5 x) \frac{1}{\sin (6 x)}$

解题步骤 2.2

将 $\sin (5 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (6 x)}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

用 $\sin (5 x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \sin (5 x) \frac{1}{\sin (6 x)}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{\sin (6 x)}$ 转换成 $\csc (6 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \sin (5 x) \csc (6 x)$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (5 x) \csc (6 x)$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $\sin (5 x) \csc (6 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sin (5 x) \csc (6 x) \\ - 0.1 & 0.84907806 \\ - 0.01 & 0.83348615 \\ - 0.001 & 0.83333486 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.833$ 。因此， $\sin (5 x) \csc (6 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.833$ 。

$0.833$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (5 x) \csc (6 x)$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $\sin (5 x) \csc (6 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sin (5 x) \csc (6 x) \\ 0.1 & 0.84907806 \\ 0.01 & 0.83348615 \\ 0.001 & 0.83333486 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.833$ 。因此， $\sin (5 x) \csc (6 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.833$ 。

$0.833$

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