微积分学示例

$lim_{x \to 0} (\sqrt{x^{3} + x^{2}}) \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{3} + x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{3} + x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} x^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{0^{3} + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{0^{3} + 0^{2}} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 7

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 8

制作一个表格展示函数 $\sin (\frac{π}{x})$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\sin (\frac{π}{x})$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

解题步骤 10

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

解题步骤 11

制作一个表格展示函数 $\sin (\frac{π}{x})$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

解题步骤 12

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\sin (\frac{π}{x})$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$\sqrt{0^{3} + 0^{2}} \cdot 0$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\sqrt{0 + 0^{2}} \cdot 0$

解题步骤 13.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\sqrt{0 + 0} \cdot 0$

解题步骤 13.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{0} \cdot 0$

解题步骤 13.4

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sqrt{0^{2}} \cdot 0$

解题步骤 13.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$0 \cdot 0$

解题步骤 13.6

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$0$

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