微积分学示例

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} (1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} x^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot lim_{x \to 0} 1 - \sin^{2} (\frac{2 π}{x})$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

解题步骤 7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - lim_{x \to 0} \sin^{2} (\frac{2 π}{x}))$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $\sin^{2} (\frac{2 π}{x})$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

解题步骤 9

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{0^{2} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

解题步骤 9.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - {(lim_{x \to 0} \sin (\frac{2 π}{x}))}^{2})$

解题步骤 10

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{2 π}{x})$

解题步骤 11

制作一个表格展示函数 $\sin (\frac{2 π}{x})$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & - 0.54407169 \\ - 0.001 & 0.8937534 \\ - 0.0001 & - 0.99742913 \\ - 0.00001 & 0.41991556 \\ - 0.000001 & - 0.22195154 \\ - 0.0000001 & 0.97486841 \\ - 0.00000001 & - 0.78016272 \\ 0 & 0.00000197 \\ 0 & 0.00003499 \end{array}$

解题步骤 12

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\sin (\frac{2 π}{x})$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$0$

解题步骤 13

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{2 π}{x})$

解题步骤 14

制作一个表格展示函数 $\sin (\frac{2 π}{x})$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{2 π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & - 0.95891572 \\ 0.001 & - 0.17658004 \\ 0.0001 & - 0.21424608 \\ 0.00001 & - 0.75115029 \\ 0.000001 & - 0.99796383 \\ 0.0000001 & 0.06293287 \\ 0.00000001 & 0.37855005 \\ 0 & - 0.00000197 \\ 0 & - 0.00003499 \end{array}$

解题步骤 15

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $\sin (\frac{2 π}{x})$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$\sqrt{0^{2} - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

解题步骤 16

化简答案。

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解题步骤 16.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\sqrt{0 - 0^{3}} \cdot (1 - 0^{2})$

解题步骤 16.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\sqrt{0 - 0} \cdot (1 - 0^{2})$

解题步骤 16.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\sqrt{0 + 0} \cdot (1 - 0^{2})$

解题步骤 16.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{0} \cdot (1 - 0^{2})$

解题步骤 16.5

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sqrt{0^{2}} \cdot (1 - 0^{2})$

解题步骤 16.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$0 \cdot (1 - 0^{2})$

解题步骤 16.7

化简每一项。

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解题步骤 16.7.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 \cdot (1 - 0)$

解题步骤 16.7.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 \cdot (1 + 0)$

解题步骤 16.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$0 \cdot 1$

解题步骤 16.9

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0$

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