微积分学示例

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{\sin (4 x)}{\sin (x)}$ 重写为乘积形式。

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 1.2

将 $\sin (4 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$lim_{x \to 0} \sqrt{\frac{\sin (4 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

用 $\sin (4 x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \frac{1}{\sin (x)}}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \sqrt{\sin (4 x) \csc (x)}$

解题步骤 2

将极限移入根号内。

$\sqrt{lim_{x \to 0} \sin (4 x) \csc (x)}$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (4 x) \csc (x)$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $\sin (4 x) \csc (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 3.9006813 \\ - 0.01 & 3.99900006 \\ - 0.001 & 3.99999 \\ - 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $4$ 。因此， $\sin (4 x) \csc (x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $4$ 。

$4$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (4 x) \csc (x)$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $\sin (4 x) \csc (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \sin (4 x) \csc (x) \\ 0.1 & 3.9006813 \\ 0.01 & 3.99900006 \\ 0.001 & 3.99999 \\ 0.0001 & 3.9999999 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $4$ 。因此， $\sin (4 x) \csc (x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $4$ 。

$\sqrt{4}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{2^{2}}$

解题步骤 9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$2$

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