微积分学示例

$lim_{x \to 0} 4 x \ln (\sin (x))$

解题步骤 1

设置极限为左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} 4 x \ln (\sin (x))$

解题步骤 2

通过代入变量的值计算极限。

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解题步骤 2.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $4 x \ln (\sin (x))$ 的极限值。

$4 \cdot 0 \ln (\sin (0))$

解题步骤 2.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 \ln (\sin (0))$

解题步骤 2.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 \ln (0)$

解题步骤 2.4

因为 $0 \ln (0)$ 无意义，所以极限不存在。

$不存在$

解题步骤 3

设置极限为右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} 4 x \ln (\sin (x))$

解题步骤 4

计算右极限。

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解题步骤 4.1

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))$

解题步骤 4.2

制作一个表格展示函数 $x \ln (\sin (x))$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0$ 。因此， $x \ln (\sin (x))$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0$ 。

$4 \cdot 0$

解题步骤 4.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

如果任意一侧的极限不存在，那么该极限不存在。

$不存在$

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