微积分学示例

$lim_{x \to 0} 5 π (3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3)$

解题步骤 1

因为项 $5 π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 π lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - 3$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$5 π (lim_{x \to 0} 3 \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

解题步骤 3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 π (3 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

解题步骤 4

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 π \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

解题步骤 5

因为项 $2 π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π lim_{x \to 0} \tan (\frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

解题步骤 6

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (lim_{x \to 0} \frac{5 π}{4 \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

解题步骤 7

因为项 $\frac{5 π}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

解题步骤 9

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec (x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

解题步骤 10

因为正割是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - lim_{x \to 0} 3)$

解题步骤 11

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$5 π (3 \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

解题步骤 12

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (lim_{x \to 0} x)}) - 1 \cdot 3)$

解题步骤 12.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$5 π (3 \cos (0) + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$5 π (3 \cdot 1 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

解题步骤 13.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\sec (0)}) - 1 \cdot 3)$

解题步骤 13.1.3

将 $\sec (0)$ 重写为正弦和余弦形式。

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}}) - 1 \cdot 3)$

解题步骤 13.1.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (0)}$ 。

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} (1 \cos (0))) - 1 \cdot 3)$

解题步骤 13.1.5

将 $\cos (0)$ 乘以 $1$ 。

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cos (0)) - 1 \cdot 3)$

解题步骤 13.1.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4} \cdot 1) - 1 \cdot 3)$

解题步骤 13.1.7

将 $\frac{5 π}{4}$ 乘以 $1$ 。

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{5 π}{4}) - 1 \cdot 3)$

解题步骤 13.1.8

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$5 π (3 + 2 π \tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 3)$

解题步骤 13.1.9

$\tan (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$5 π (3 + 2 π \cdot 1 - 1 \cdot 3)$

解题步骤 13.1.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 π (3 + 2 π - 1 \cdot 3)$

解题步骤 13.1.11

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$5 π (3 + 2 π - 3)$

解题步骤 13.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$5 π (2 π + 0)$

解题步骤 13.3

将 $2 π$ 和 $0$ 相加。

$5 π (2 π)$

解题步骤 13.4

乘以 $5 π (2 π)$ 。

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解题步骤 13.4.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 π π$

解题步骤 13.4.2

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (π^{1} π)$

解题步骤 13.4.3

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (π^{1} π^{1})$

解题步骤 13.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 π^{1 + 1}$

解题步骤 13.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 π^{2}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$10 π^{2}$

小数形式：

$98.69604401 \dots$

微积分学 示例

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