微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 1} (x) (\sin (x))}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sin (x)}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

解题步骤 2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (lim_{x \to 1} x)}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

解题步骤 3

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 \cdot \sin (lim_{x \to 1} x)}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

解题步骤 3.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1 \cdot \sin (1)}{\cos (3 x)} + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1 \cdot \sin (1)}{\cos (3 x)}$ 转换成 $1 \tan (3 x)$ 。

$1 \tan (3 x) + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

解题步骤 4.2

将 $\tan (3 x)$ 乘以 $1$ 。

$\tan (3 x) + \frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (9 x)}$ 重写为乘积形式。

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \frac{1}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

解题步骤 4.4

将 $\sin (3 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\tan (3 x) + \frac{\sin (3 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

用 $\sin (3 x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \frac{1}{\cos (9 x)} + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

解题步骤 4.5.2

将 $\frac{1}{\cos (9 x)}$ 转换成 $\sec (9 x)$ 。

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$

解题步骤 4.6

将 $\frac{\sin (9 x)}{\cos (27 x)}$ 重写为乘积形式。

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \sin (9 x) \frac{1}{\cos (27 x)}$

解题步骤 4.7

将 $\sin (9 x)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \frac{\sin (9 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (27 x)}$

解题步骤 4.8

化简。

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解题步骤 4.8.1

用 $\sin (9 x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \sin (9 x) \frac{1}{\cos (27 x)}$

解题步骤 4.8.2

将 $\frac{1}{\cos (27 x)}$ 转换成 $\sec (27 x)$ 。

$\tan (3 x) + \sin (3 x) \sec (9 x) + \sin (9 x) \sec (27 x)$

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