微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{\sin (8 x)}{\tan (7 x)}$

解题步骤 1

应用三角恒等式。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (7 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$lim_{x \to 1} \frac{\sin (8 x)}{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}$

解题步骤 1.2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\sin (8 x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{\sin (8 x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ 转换成 $\sin (8 x) \cot (7 x)$ 。

$lim_{x \to 1} \sin (8 x) \cot (7 x)$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 1} \sin (8 x) \cdot lim_{x \to 1} \cot (7 x)$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\sin (lim_{x \to 1} 8 x) \cdot lim_{x \to 1} \cot (7 x)$

解题步骤 4

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sin (8 lim_{x \to 1} x) \cdot lim_{x \to 1} \cot (7 x)$

解题步骤 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\sin (8 lim_{x \to 1} x) \cdot \cot (lim_{x \to 1} 7 x)$

解题步骤 6

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sin (8 lim_{x \to 1} x) \cdot \cot (7 lim_{x \to 1} x)$

解题步骤 7

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sin (8 \cdot 1) \cdot \cot (7 lim_{x \to 1} x)$

解题步骤 7.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sin (8 \cdot 1) \cdot \cot (7 \cdot 1)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$\sin (8) \cdot \cot (7 \cdot 1)$

解题步骤 8.2

计算 $\sin (8)$ 。

$0.1391731 \cdot \cot (7 \cdot 1)$

解题步骤 8.3

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$0.1391731 \cdot \cot (7)$

解题步骤 8.4

计算 $\cot (7)$ 。

$0.1391731 \cdot 8.14434642$

解题步骤 8.5

将 $0.1391731$ 乘以 $8.14434642$ 。

$1.13347394$

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