微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})}{\ln (x) - \ln (\sqrt{x})}$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})}{\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \ln (x) + lim_{x \to 1} 2 \ln (x^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2.2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to 1} \ln (x) + lim_{x \to 1} 2 \ln (x^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2.3

将极限移入对数中。

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} 2 \ln (x^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} x) + 2 lim_{x \to 1} \ln (x^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2.5

将极限移入对数中。

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} x) + 2 \ln (lim_{x \to 1} x^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2.6

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{4 \ln (lim_{x \to 1} x) + 2 \ln ({(lim_{x \to 1} x)}^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2.7

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.7.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 \ln (1) + 2 \ln ({(lim_{x \to 1} x)}^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2.7.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 \ln (1) + 2 \ln (1^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.8.1.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{4 \cdot 0 + 2 \ln (1^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2.8.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 2 \ln (1^{3})}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2.8.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{0 + 2 \ln (1)}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2.8.1.4

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2.8.1.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.2.8.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

将极限移入对数中。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} \frac{x}{\sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.3.2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{0}{\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}})}$

解题步骤 2.1.3.3

将极限移入根号内。

$\frac{0}{\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}})}$

解题步骤 2.1.3.4

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.4.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\ln (\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}})}$

解题步骤 2.1.3.4.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\ln (\frac{1}{\sqrt{1}})}$

解题步骤 2.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.5.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{0}{\ln (\frac{1}{1})}$

解题步骤 2.1.3.5.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$\frac{0}{\ln (1)}$

解题步骤 2.1.3.5.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.5.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 1} \frac{4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})}{\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $4 \ln (x) + 2 \ln (x^{3})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{3})]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.3.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 \ln (x^{3})]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln (x^{3})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 2.3.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.4.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.4.2.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 (\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2}))}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.4.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 (\frac{3}{x^{3}} x^{2})}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.4.5

组合 $\frac{3}{x^{3}}$ 和 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 \frac{3 x^{2}}{x^{3}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.4.6

约去 $x^{2}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.6.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.4.6.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.4.6.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.4.6.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + 2 \frac{3}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.4.7

组合 $2$ 和 $\frac{3}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + \frac{2 \cdot 3}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.4.8

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4}{x} + \frac{6}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.5

合并项。

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解题步骤 2.3.5.1

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{4 + 6}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.5.2

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{\sqrt{x}})]}$

解题步骤 2.3.6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}})]}$

解题步骤 2.3.7

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x \cdot x^{- \frac{1}{2}})]}$

解题步骤 2.3.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.8.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.8.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{1} x^{- \frac{1}{2}})]}$

解题步骤 2.3.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{1 - \frac{1}{2}})]}$

解题步骤 2.3.8.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}})]}$

解题步骤 2.3.8.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{2 - 1}{2}})]}$

解题步骤 2.3.8.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})]}$

解题步骤 2.3.9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.9.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 2.3.9.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 2.3.9.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

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解题步骤 2.3.9.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.9.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 2.3.9.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 2.3.9.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 2.3.9.3.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 2.3.9.3.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 2.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

解题步骤 2.3.11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

解题步骤 2.3.12

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

解题步骤 2.3.13

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

解题步骤 2.3.14

化简分子。

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解题步骤 2.3.14.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

解题步骤 2.3.14.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

解题步骤 2.3.15

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.3.16

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 2.3.17

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.18

将 $2$ 移到 $x^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.19

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.20

化简分母。

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解题步骤 2.3.20.1

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.20.1.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}}$

解题步骤 2.3.20.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.20.1.3

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.20.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}}$

解题步骤 2.3.20.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 x^{1}}}$

解题步骤 2.3.20.2

化简 $2 x^{1}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{10}{x}}{\frac{1}{2 x}}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 1} \frac{10}{x} (2 x)$

解题步骤 2.5

合并因数。

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解题步骤 2.5.1

组合 $2$ 和 $\frac{10}{x}$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{2 \cdot 10}{x} x$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{20}{x} x$

解题步骤 2.5.3

组合 $\frac{20}{x}$ 和 $x$ 。

$lim_{x \to 1} \frac{20 x}{x}$

解题步骤 2.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

约去公因数。

$lim_{x \to 1} \frac{20 x}{x}$

解题步骤 2.6.2

用 $20$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 1} 20$

解题步骤 3

计算 $20$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$20$

微积分学 示例

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