微积分学示例

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x}{1 - e^{\frac{x + 1}{x + 3}}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{lim_{x \to 1^{+}} 1 - e^{\frac{x + 1}{x + 3}}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{lim_{x \to 1^{+}} 1 - lim_{x \to 1^{+}} e^{\frac{x + 1}{x + 3}}}$

解题步骤 3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - lim_{x \to 1^{+}} e^{\frac{x + 1}{x + 3}}}$

解题步骤 4

将极限移入指数中。

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{lim_{x \to 1^{+}} \frac{x + 1}{x + 3}}}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + lim_{x \to 1^{+}} 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

解题步骤 7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + lim_{x \to 1^{+}} 3}}}$

解题步骤 9

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to 1^{+}} x}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

解题步骤 10

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{1 - e^{\frac{lim_{x \to 1^{+}} x + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

解题步骤 10.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{1 - e^{\frac{1 + 1}{lim_{x \to 1^{+}} x + 3}}}$

解题步骤 10.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{1 - e^{\frac{1 + 1}{1 + 3}}}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{1 - e^{\frac{2}{1 + 3}}}$

解题步骤 11.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{1 - e^{\frac{2}{4}}}$

解题步骤 11.3

化简分母。

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解题步骤 11.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{1}{1^{2} - e^{\frac{2}{4}}}$

解题步骤 11.3.2

将 $e^{\frac{2}{4}}$ 重写为 ${(e^{\frac{1}{4}})}^{2}$ 。

$\frac{1}{1^{2} - {(e^{\frac{1}{4}})}^{2}}$

解题步骤 11.3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{1}{(1 + e^{\frac{1}{4}}) (1 - e^{\frac{1}{4}})}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{(1 + e^{\frac{1}{4}}) (1 - e^{\frac{1}{4}})}$

小数形式：

$- 1.54149408 \dots$

微积分学 示例

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