微积分学示例

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 9}}{x^{2 - 5 x + 6}}$

解题步骤 1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.1

约去 $x^{2 - 9}$ 和 $x^{2 - 5 x + 6}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{2 - 9}$ 中分解出因数 $x^{2 - 5 x + 6}$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 5 x + 6} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{x^{2 - 5 x + 6}}$

解题步骤 1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 5 x + 6} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{x^{2 - 5 x + 6} \cdot 1}$

解题步骤 1.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2 - 5 x + 6} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{x^{2 - 5 x + 6} \cdot 1}$

解题步骤 1.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 3} \frac{x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}}{1}$

解题步骤 1.1.2.4

用 $x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 3} x^{- 7 - (2 - 5 x + 6)}$

解题步骤 1.2

将 $2$ 和 $6$ 相加。

$lim_{x \to 3} x^{- 7 - (- 5 x + 8)}$

解题步骤 2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 2.1

将 $x^{- 7 - (- 5 x + 8)}$ 重写为 $e^{\ln (x^{- 7 - (- 5 x + 8)})}$ 。

$lim_{x \to 3} e^{\ln (x^{- 7 - (- 5 x + 8)})}$

解题步骤 2.2

通过将 $- 7 - (- 5 x + 8)$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{- 7 - (- 5 x + 8)})$ 。

$lim_{x \to 3} e^{(- 7 - (- 5 x + 8)) \ln (x)}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 3} (- 7 - (- 5 x + 8)) \ln (x)}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{lim_{x \to 3} - 7 - (- 5 x + 8) \cdot lim_{x \to 3} \ln (x)}$

解题步骤 3.3

将极限移入对数中。

$e^{lim_{x \to 3} - 7 - (- 5 x + 8) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

解题步骤 4

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $- 7 - (- 5 x + 8)$ 的极限值。

$e^{(- 7 - (- 5 \cdot 3 + 8)) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$e^{(- 7 - (- 15 + 8)) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

解题步骤 4.2.2

将 $- 15$ 和 $8$ 相加。

$e^{(- 7 - - 7) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

解题步骤 4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$e^{(- 7 + 7) \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

解题步骤 4.3

将 $- 7$ 和 $7$ 相加。

$e^{0 \cdot \ln (lim_{x \to 3} x)}$

解题步骤 4.4

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{0 \cdot \ln (3)}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $0 \cdot \ln (3)$ 。

$e^{\ln (3^{0})}$

解题步骤 5.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$3^{0}$

解题步骤 5.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

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