微积分学示例

$lim_{x \to 3} (\frac{7}{12 \sqrt[12]{x^{5}}}) - 8 \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 3} \frac{7}{12 \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{7}{12}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7}{12} lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{7}{12} \cdot \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt[12]{x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 5

将极限移入根号内。

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{lim_{x \to 3} x^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $x^{5}$ 的指数 $5$ 移到极限外。

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - lim_{x \to 3} 8 \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 7

因为项 $8$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 8

将极限移入根号内。

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{lim_{x \to 3} 1}{lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{lim_{x \to 3} \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 11

将极限移入根号内。

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{lim_{x \to 3} x^{2}}}$

解题步骤 12

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{{(lim_{x \to 3} x)}^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

解题步骤 13

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 13.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{lim_{x \to 3} x} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

解题步骤 13.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{{(lim_{x \to 3} x)}^{2}}}$

解题步骤 13.3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{\sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14

化简答案。

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解题步骤 14.1

化简每一项。

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解题步骤 14.1.1

合并。

$\frac{7 \cdot 1}{12 \sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7}{12 \sqrt[12]{3^{5}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.3

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{7}{12 \sqrt[12]{243}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.4

将 $\frac{7}{12 \sqrt[12]{243}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}}$ 。

$\frac{7}{12 \sqrt[12]{243}} \cdot \frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.5

合并和化简分母。

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解题步骤 14.1.5.1

将 $\frac{7}{12 \sqrt[12]{243}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[12]{243}}^{11}}{{\sqrt[12]{243}}^{11}}$ 。

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \sqrt[12]{243} {\sqrt[12]{243}}^{11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.5.2

移动 $\sqrt[12]{243}$ 。

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 (\sqrt[12]{243} {\sqrt[12]{243}}^{11})} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.5.3

对 $\sqrt[12]{243}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 ({\sqrt[12]{243}}^{1} {\sqrt[12]{243}}^{11})} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 {\sqrt[12]{243}}^{1 + 11}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.5.5

将 $1$ 和 $11$ 相加。

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 {\sqrt[12]{243}}^{12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.5.6

将 ${\sqrt[12]{243}}^{12}$ 重写为 $243$ 。

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解题步骤 14.1.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[12]{243}$ 重写成 $243^{\frac{1}{12}}$ 。

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 {(243^{\frac{1}{12}})}^{12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243^{\frac{1}{12} \cdot 12}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.5.6.3

组合 $\frac{1}{12}$ 和 $12$ 。

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243^{\frac{12}{12}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.5.6.4

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 14.1.5.6.4.1

约去公因数。

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243^{\frac{12}{12}}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.5.6.4.2

重写表达式。

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243^{1}} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.5.6.5

计算指数。

$\frac{7 {\sqrt[12]{243}}^{11}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.6

化简分子。

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解题步骤 14.1.6.1

将 ${\sqrt[12]{243}}^{11}$ 重写为 $\sqrt[12]{243^{11}}$ 。

$\frac{7 \sqrt[12]{243^{11}}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.6.2

对 $243$ 进行 $11$ 次方运算。

$\frac{7 \sqrt[12]{174449211009120000000000000}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.6.3

将 $174449211009120000000000000$ 重写为 $10^{12} \cdot 174449211009120$ 。

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解题步骤 14.1.6.3.1

从 $174449211009120000000000000$ 中分解出因数 $1000000000000$ 。

$\frac{7 \sqrt[12]{1000000000000 (174449211009120)}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.6.3.2

将 $1000000000000$ 重写为 $10^{12}$ 。

$\frac{7 \sqrt[12]{10^{12} \cdot 174449211009120}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.6.4

从根式下提出各项。

$\frac{7 \cdot 10 \sqrt[12]{174449211009120}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.6.5

将 $7$ 乘以 $10$ 。

$\frac{70 \sqrt[12]{174449211009120}}{12 \cdot 243} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.7

将 $12$ 乘以 $243$ 。

$\frac{70 \sqrt[12]{174449211009120}}{2916} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.8

约去 $70$ 和 $2916$ 的公因数。

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解题步骤 14.1.8.1

从 $70 \sqrt[12]{174449211009120}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35 \sqrt[12]{174449211009120})}{2916} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 14.1.8.2.1

从 $2916$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (35 \sqrt[12]{174449211009120})}{2 (1458)} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.8.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (35 \sqrt[12]{174449211009120})}{2 \cdot 1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.8.2.3

重写表达式。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3^{2}}}$

解题步骤 14.1.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

解题步骤 14.1.10

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ 。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

解题步骤 14.1.11

合并和化简分母。

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解题步骤 14.1.11.1

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ 。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

解题步骤 14.1.11.2

对 $\sqrt[3]{9}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

解题步骤 14.1.11.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

解题步骤 14.1.11.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

解题步骤 14.1.11.5

将 ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ 重写为 $9$ 。

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解题步骤 14.1.11.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{9}$ 重写成 $9^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 14.1.11.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 14.1.11.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 14.1.11.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.1.11.5.4.1

约去公因数。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 14.1.11.5.4.2

重写表达式。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

解题步骤 14.1.11.5.5

计算指数。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

解题步骤 14.1.12

化简分子。

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解题步骤 14.1.12.1

将 ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{9^{2}}$ 。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{9^{2}}}{9}$

解题步骤 14.1.12.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{81}}{9}$

解题步骤 14.1.12.3

将 $81$ 重写为 $3^{3} \cdot 3$ 。

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解题步骤 14.1.12.3.1

从 $81$ 中分解出因数 $27$ 。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{27 (3)}}{9}$

解题步骤 14.1.12.3.2

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9}$

解题步骤 14.1.12.4

从根式下提出各项。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{9}$

解题步骤 14.1.13

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 14.1.13.1

从 $3 \sqrt[3]{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 (\sqrt[3]{3})}{9}$

解题步骤 14.1.13.2

约去公因数。

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解题步骤 14.1.13.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 14.1.13.2.2

约去公因数。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{3 \sqrt[3]{3}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 14.1.13.2.3

重写表达式。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

解题步骤 14.2

要将 $- 8 \sqrt[3]{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - 8 \sqrt[3]{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

解题步骤 14.3

组合 $- 8 \sqrt[3]{3}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} + \frac{- 8 \sqrt[3]{3} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt[3]{3}}{3}$

解题步骤 14.4

在公分母上合并分子。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} + \frac{- 8 \sqrt[3]{3} \cdot 3 + \sqrt[3]{3}}{3}$

解题步骤 14.5

化简每一项。

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解题步骤 14.5.1

化简分子。

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解题步骤 14.5.1.1

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} + \frac{- 24 \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3}}{3}$

解题步骤 14.5.1.2

将 $- 24 \sqrt[3]{3}$ 和 $\sqrt[3]{3}$ 相加。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} + \frac{- 23 \sqrt[3]{3}}{3}$

解题步骤 14.5.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - \frac{23 \sqrt[3]{3}}{3}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{35 \sqrt[12]{174449211009120}}{1458} - \frac{23 \sqrt[3]{3}}{3}$

小数形式：

$- 10.68817030 \dots$

微积分学 示例

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