微积分学示例

$lim_{x \to 2} e^{x - 2} \cos (π x)$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to 2} e^{x - 2} \cdot lim_{x \to 2} \cos (π x)$

解题步骤 2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 2} x - 2} \cdot lim_{x \to 2} \cos (π x)$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2} \cdot lim_{x \to 2} \cos (π x)$

解题步骤 4

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$e^{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2} \cdot lim_{x \to 2} \cos (π x)$

解题步骤 5

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$e^{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2} \cdot \cos (lim_{x \to 2} π x)$

解题步骤 6

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2} \cdot \cos (π lim_{x \to 2} x)$

解题步骤 7

将 $2$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{2 - 1 \cdot 2} \cdot \cos (π lim_{x \to 2} x)$

解题步骤 7.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{2 - 1 \cdot 2} \cdot \cos (π \cdot 2)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{2 - 2} \cdot \cos (π \cdot 2)$

解题步骤 8.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$e^{0} \cdot \cos (π \cdot 2)$

解题步骤 8.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 \cdot \cos (π \cdot 2)$

解题步骤 8.4

将 $\cos (π \cdot 2)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (π \cdot 2)$

解题步骤 8.5

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\cos (2 \cdot π)$

解题步骤 8.6

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\cos (0)$

解题步骤 8.7

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

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