微积分学示例

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{13 + x}} - \frac{1}{3}}{x + 4}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{1}{\sqrt{13 + x}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{13 + x}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{x + 4}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{13 + x}}{\sqrt{13 + x}}$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{1}{\sqrt{13 + x}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13 + x}}{\sqrt{13 + x}}}{x + 4}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\sqrt{13 + x} \cdot 3$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{13 + x}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{3}{\sqrt{13 + x} \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13 + x}}{\sqrt{13 + x}}}{x + 4}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{13 + x}}{\sqrt{13 + x}}$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{3}{\sqrt{13 + x} \cdot 3} - \frac{\sqrt{13 + x}}{3 \sqrt{13 + x}}}{x + 4}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $\sqrt{13 + x} \cdot 3$ 的因式。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{3}{3 \sqrt{13 + x}} - \frac{\sqrt{13 + x}}{3 \sqrt{13 + x}}}{x + 4}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{3 - \sqrt{13 + x}}{3 \sqrt{13 + x}}}{x + 4}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 - \sqrt{13 + x}}{3 \sqrt{13 + x}} \cdot \frac{1}{x + 4}$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{3 - \sqrt{13 + x}}{3 \sqrt{13 + x}}$ 乘以 $\frac{1}{x + 4}$ 。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 - \sqrt{13 + x}}{3 \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 2.2

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{3 - \sqrt{13 + x}}{\sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 4} 3 - \sqrt{13 + x}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 4} 3 - lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 3.1.2.1.2

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 3.1.2.1.3

将极限移入根号内。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{lim_{x \to - 4} 13 + x}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 3.1.2.1.4

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{lim_{x \to - 4} 13 + lim_{x \to - 4} x}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 3.1.2.1.5

计算 $13$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{13 + lim_{x \to - 4} x}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{13 - 4}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 3.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.3.1.1

从 $13$ 中减去 $4$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 3.1.2.3.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 3.1.2.3.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 3.1.2.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 3}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 3.1.2.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} (x + 4)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - 4} \sqrt{13 + x} \cdot lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 3.1.3.2

将极限移入根号内。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 4} 13 + x} \cdot lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 3.1.3.3

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 4} 13 + lim_{x \to - 4} x} \cdot lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 3.1.3.4

计算 $13$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{13 + lim_{x \to - 4} x} \cdot lim_{x \to - 4} x + 4}$

解题步骤 3.1.3.5

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{13 + lim_{x \to - 4} x} \cdot (lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4)}$

解题步骤 3.1.3.6

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{13 + lim_{x \to - 4} x} \cdot (lim_{x \to - 4} x + 4)}$

解题步骤 3.1.3.7

将 $- 4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.7.1

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{13 - 4} \cdot (lim_{x \to - 4} x + 4)}$

解题步骤 3.1.3.7.2

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{13 - 4} \cdot (- 4 + 4)}$

解题步骤 3.1.3.8

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.8.1

从 $13$ 中减去 $4$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{9} \cdot (- 4 + 4)}$

解题步骤 3.1.3.8.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sqrt{3^{2}} \cdot (- 4 + 4)}$

解题步骤 3.1.3.8.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot (- 4 + 4)}$

解题步骤 3.1.3.8.4

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.8.5

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.8.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 4} \frac{3 - \sqrt{13 + x}}{\sqrt{13 + x} (x + 4)} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{13 + x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{13 + x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $3 - \sqrt{13 + x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{13 + x}]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{13 + x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{13 + x}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{13 + x}]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13 + x}$ 重写成 ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 13 + x$ 。

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解题步骤 3.3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $13 + x$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [13 + x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [13 + x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.3.3

使用 $13 + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [13 + x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.4

根据加法法则， $13 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.5

因为 $13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $13$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.9

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.10

化简分子。

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解题步骤 3.3.4.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.12

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2} {(13 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{{(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.14

将 $\frac{{(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{{(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.4.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{0 - \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.5

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{13 + x} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13 + x}$ 重写成 ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} (x + 4)]}$

解题步骤 3.3.7

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 4$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.8

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.10

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.12

将 ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [{(13 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.13

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 13 + x$ 。

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解题步骤 3.3.13.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $13 + x$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [13 + x]}$

解题步骤 3.3.13.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

解题步骤 3.3.13.3

使用 $13 + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

解题步骤 3.3.14

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

解题步骤 3.3.15

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

解题步骤 3.3.16

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

解题步骤 3.3.17

化简分子。

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解题步骤 3.3.17.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

解题步骤 3.3.17.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

解题步骤 3.3.18

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2} {(13 + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

解题步骤 3.3.19

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{{(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

解题步骤 3.3.20

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(13 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [13 + x]}$

解题步骤 3.3.21

根据加法法则， $13 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [13] + \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.3.22

因为 $13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $13$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.3.23

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.24

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}$

解题步骤 3.3.25

将 $x + 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} + (x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26

化简。

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解题步骤 3.3.26.1

重新排序项。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{(x + 4) \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.26.2

将 $x + 4$ 乘以 $\frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.26.3

要将 ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(13 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.4

组合 ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(13 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + {(13 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6

化简分子。

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解题步骤 3.3.26.6.1

通过指数相加将 ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.26.6.1.1

移动 ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + {(13 + x)}^{\frac{1}{2}} {(13 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + {(13 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + {(13 + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + {(13 + x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + {(13 + x)}^{1} \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6.2

化简 ${(13 + x)}^{1} \cdot 2$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + (13 + x) \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6.3

运用分配律。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + 13 \cdot 2 + x \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6.4

将 $13$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + 26 + x \cdot 2}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6.5

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 4 + 26 + 2 \cdot x}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6.6

将 $x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x + 4 + 26}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6.7

将 $4$ 和 $26$ 相加。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x + 30}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6.8

从 $3 x + 30$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.3.26.6.8.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 (x) + 30}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6.8.2

从 $30$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x + 3 \cdot 10}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.26.6.8.3

从 $3 x + 3 \cdot 10$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{- \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 (x + 10)}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{1}{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 (x + 10)}$

解题步骤 3.5

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 3.5.1

将 ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{13 + x}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{1}{2 \sqrt{13 + x}} \cdot \frac{2 {(13 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 (x + 10)}$

解题步骤 3.5.2

将 ${(13 + x)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{13 + x}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{1}{2 \sqrt{13 + x}} \cdot \frac{2 \sqrt{13 + x}}{3 (x + 10)}$

解题步骤 3.6

合并因数。

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解题步骤 3.6.1

将 $\frac{2 \sqrt{13 + x}}{3 (x + 10)}$ 乘以 $\frac{1}{2 \sqrt{13 + x}}$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{2 \sqrt{13 + x}}{3 (x + 10) \cdot 2 \sqrt{13 + x}}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{2 \sqrt{13 + x}}{6 (x + 10) \sqrt{13 + x}}$

解题步骤 3.7

简化。

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解题步骤 3.7.1

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1.1

从 $2 \sqrt{13 + x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{2 (\sqrt{13 + x})}{6 (x + 10) \sqrt{13 + x}}$

解题步骤 3.7.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.7.1.2.1

从 $6 (x + 10) \sqrt{13 + x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{2 (\sqrt{13 + x})}{2 \cdot 3 (x + 10) \sqrt{13 + x}}$

解题步骤 3.7.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{2 \sqrt{13 + x}}{2 \cdot 3 (x + 10) \sqrt{13 + x}}$

解题步骤 3.7.1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{\sqrt{13 + x}}{3 (x + 10) \sqrt{13 + x}}$

解题步骤 3.7.2

约去 $\sqrt{13 + x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{\sqrt{13 + x}}{3 (x + 10) \sqrt{13 + x}}$

解题步骤 3.7.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 4} - \frac{1}{3 (x + 10)}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot - 1 lim_{x \to - 4} \frac{1}{3 (x + 10)}$

解题步骤 4.2

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{3} lim_{x \to - 4} \frac{1}{x + 10}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{lim_{x \to - 4} 1}{lim_{x \to - 4} x + 10}$

解题步骤 4.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{lim_{x \to - 4} x + 10}$

解题步骤 4.5

当 $x$ 趋于 $- 4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 10}$

解题步骤 4.6

计算 $10$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{lim_{x \to - 4} x + 10}$

解题步骤 5

将 $- 4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot - 1 \frac{1}{3} \frac{1}{- 4 + 10}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{- 4 + 10}$

解题步骤 6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{- 4 + 10}$

解题步骤 6.3

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{3 \cdot 3} \cdot \frac{1}{- 4 + 10}$

解题步骤 6.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{- 4 + 10}$

解题步骤 6.4

将 $- 4$ 和 $10$ 相加。

$- \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6}$

解题步骤 6.5

乘以 $- \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6}$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{1}{9}$ 。

$- \frac{1}{6 \cdot 9}$

解题步骤 6.5.2

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{1}{54}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{54}$

小数形式：

$- 0.0\overline{185}$

微积分学 示例

微积分学示例