微积分学示例

$lim_{x \to 4} 2 x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}}$

解题步骤 1

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 lim_{x \to 4} x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}}$

解题步骤 2

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 2.1

将 $x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}}$ 重写为 $e^{\ln (x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}})}$ 。

$2 lim_{x \to 4} e^{\ln (x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}})}$

解题步骤 2.2

通过将 $3 \sqrt{x^{2} + 7}$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{3 \sqrt{x^{2} + 7}})$ 。

$2 lim_{x \to 4} e^{3 \sqrt{x^{2} + 7} \ln (x)}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

将极限移入指数中。

$2 e^{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x^{2} + 7} \ln (x)}$

解题步骤 3.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$2 e^{3 lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 7} \ln (x)}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$2 e^{3 lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

解题步骤 3.4

将极限移入根号内。

$2 e^{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

解题步骤 3.5

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$2 e^{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

解题步骤 3.6

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$2 e^{3 \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

解题步骤 3.7

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$2 e^{3 \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 7} \cdot lim_{x \to 4} \ln (x)}$

解题步骤 3.8

将极限移入对数中。

$2 e^{3 \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 7} \cdot \ln (lim_{x \to 4} x)}$

解题步骤 4

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 e^{3 \sqrt{4^{2} + 7} \cdot \ln (lim_{x \to 4} x)}$

解题步骤 4.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$2 e^{3 \sqrt{4^{2} + 7} \cdot \ln (4)}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 e^{3 \sqrt{16 + 7} \cdot \ln (4)}$

解题步骤 5.2

将 $16$ 和 $7$ 相加。

$2 e^{3 \sqrt{23} \ln (4)}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 e^{3 \sqrt{23} \ln (4)}$

小数形式：

$918681247.931872$

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