微积分学示例

${(1 + \frac{a}{x})}^{b x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 ${(1 + \frac{a}{x})}^{b x}$ 重写为 $e^{\ln ({(1 + \frac{a}{x})}^{b x})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + \frac{a}{x})}^{b x})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $b x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(1 + \frac{a}{x})}^{b x})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [b x \ln (1 + \frac{a}{x})]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [b x \ln (1 + \frac{a}{x})]$

解题步骤 2.3

使用 $b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \frac{d}{d x} [b x \ln (1 + \frac{a}{x})]$

解题步骤 3

因为 $b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ 对 $x$ 的导数是 $b \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{a}{x})]$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{a}{x})])$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (1 + \frac{a}{x})$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x \frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + \frac{a}{x}$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.3

使用 $1 + \frac{a}{x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (x (\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ 和 $x$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.2

根据加法法则， $1 + \frac{a}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ 相加。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.5

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{a}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{x}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.6

合并分数。

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解题步骤 6.6.1

组合 $a$ 和 $\frac{x}{1 + \frac{a}{x}}$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.6.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2}) + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.8

组合 $\frac{a x}{1 + \frac{a}{x}}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a x \cdot x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 7.1

移动 $x^{- 2}$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a (x^{- 2} x)}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 7.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a (x^{- 2} x^{1})}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a x^{- 2 + 1}}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 7.3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a x^{- 1}}{1 + \frac{a}{x}} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 1}$ 移动到分母。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \cdot 1))$

解题步骤 10

将 $\ln (1 + \frac{a}{x})$ 乘以 $1$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x})))$

解题步骤 11

要将 $\ln (1 + \frac{a}{x})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(1 + \frac{a}{x}) x}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \ln (1 + \frac{a}{x}) \cdot \frac{(1 + \frac{a}{x}) x}{(1 + \frac{a}{x}) x}))$

解题步骤 12

组合 $\ln (1 + \frac{a}{x})$ 和 $\frac{(1 + \frac{a}{x}) x}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x} + \frac{\ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)}{(1 + \frac{a}{x}) x}))$

解题步骤 13

在公分母上合并分子。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \frac{- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)}{(1 + \frac{a}{x}) x})$

解题步骤 14

组合 $b$ 和 $\frac{- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ 。

$e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \frac{b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

解题步骤 15

组合 $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ 和 $\frac{b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$ 。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) ((1 + \frac{a}{x}) x)))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a + \ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

解题步骤 16.2

运用分配律。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a) + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{(1 + \frac{a}{x}) x}$

解题步骤 16.3

运用分配律。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b (- a) + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

解题步骤 16.4

化简分子。

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解题步骤 16.4.1

化简每一项。

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解题步骤 16.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (1 x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

解题步骤 16.4.1.2

化简每一项。

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解题步骤 16.4.1.2.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

解题步骤 16.4.1.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 16.4.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (x + \frac{a}{x} x)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

解题步骤 16.4.1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) (x + a)))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

解题步骤 16.4.1.3

运用分配律。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b (\ln (1 + \frac{a}{x}) x + \ln (1 + \frac{a}{x}) a))}{1 x + \frac{a}{x} x}$

解题步骤 16.4.1.4

运用分配律。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a + b \ln (1 + \frac{a}{x}) x + b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)}{1 x + \frac{a}{x} x}$

解题步骤 16.4.2

运用分配律。

$\frac{e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (- b a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) x) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)}{1 x + \frac{a}{x} x}$

解题步骤 16.4.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) x) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)}{1 x + \frac{a}{x} x}$

解题步骤 16.4.4

将 $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) x) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} (b \ln (1 + \frac{a}{x}) a)$ 中的因式重新排序。

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{1 x + \frac{a}{x} x}$

解题步骤 16.5

合并项。

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解题步骤 16.5.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + \frac{a}{x} x}$

解题步骤 16.5.2

组合 $\frac{a}{x}$ 和 $x$ 。

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + \frac{a x}{x}}$

解题步骤 16.5.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 16.5.3.1

约去公因数。

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + \frac{a x}{x}}$

解题步骤 16.5.3.2

用 $a$ 除以 $1$ 。

$\frac{- b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} + b x e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x}) + b a e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} \ln (1 + \frac{a}{x})}{x + a}$

解题步骤 16.6

重新排序项。

$\frac{- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})}{a + x}$

解题步骤 16.7

化简分子。

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解题步骤 16.7.1

从 $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})$ 中分解出因数 $b$ 。

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解题步骤 16.7.1.1

从 $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b$ 中分解出因数 $b$ 。

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})}{a + x}$

解题步骤 16.7.1.2

从 $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} b x \ln (1 + \frac{a}{x})$ 中分解出因数 $b$ 。

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})}{a + x}$

解题步骤 16.7.1.3

从 $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a b \ln (1 + \frac{a}{x})$ 中分解出因数 $b$ 。

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.7.1.4

从 $b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}))$ 中分解出因数 $b$ 。

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.7.1.5

从 $b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x})) + b (e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))$ 中分解出因数 $b$ 。

$\frac{b (- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.7.2

从 $- e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x})$ 中分解出因数 $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ 。

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解题步骤 16.7.2.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 16.7.2.1.1

将 $1$ 和 $\frac{a}{x}$ 重新排序。

$\frac{b (- e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} a + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.7.2.1.2

移动 $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ 。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.7.2.1.3

将 $1$ 和 $\frac{a}{x}$ 重新排序。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} x \ln (1 + \frac{a}{x}) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.7.2.1.4

将 $1$ 和 $\frac{a}{x}$ 重新排序。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} x \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.7.2.1.5

将 $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.7.2.1.6

将 $1$ 和 $\frac{a}{x}$ 重新排序。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} a \ln (1 + \frac{a}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.7.2.1.7

将 $1$ 和 $\frac{a}{x}$ 重新排序。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

解题步骤 16.7.2.1.8

将 $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ 和 $a$ 重新排序。

$\frac{b (- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

解题步骤 16.7.2.2

从 $- a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ 中分解出因数 $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ 。

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1) + a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

解题步骤 16.7.2.3

从 $x e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1)$ 中分解出因数 $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ 。

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

解题步骤 16.7.2.4

从 $a e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} \ln (\frac{a}{x} + 1)$ 中分解出因数 $e^{b x \ln (1 + \frac{a}{x})}$ 。

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (a \ln (\frac{a}{x} + 1)))}{a + x}$

解题步骤 16.7.2.5

从 $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (x \ln (\frac{a}{x} + 1))$ 中分解出因数 $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ 。

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (a \ln (\frac{a}{x} + 1)))}{a + x}$

解题步骤 16.7.2.6

从 $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1)) + e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (a \ln (\frac{a}{x} + 1))$ 中分解出因数 $e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)}$ 。

$\frac{b (e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1)))}{a + x}$

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a}{x} + 1)} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

解题步骤 16.7.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a}{x} + \frac{x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

解题步骤 16.7.4

在公分母上合并分子。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + 1) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

解题步骤 16.7.5

化简每一项。

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解题步骤 16.7.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a}{x} + \frac{x}{x}) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

解题步骤 16.7.5.2

在公分母上合并分子。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a}{x} + 1))}{a + x}$

解题步骤 16.7.5.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a}{x} + \frac{x}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.7.5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- a + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.8

从 $- a$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a) + x \ln (\frac{a + x}{x}) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.9

从 $x \ln (\frac{a + x}{x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a) - (- x \ln (\frac{a + x}{x})) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.10

从 $- (a) - (- x \ln (\frac{a + x}{x}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a - x \ln (\frac{a + x}{x})) + a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.11

从 $a \ln (\frac{a + x}{x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a - x \ln (\frac{a + x}{x})) - (- a \ln (\frac{a + x}{x})))}{a + x}$

解题步骤 16.12

从 $- (a - x \ln (\frac{a + x}{x})) - (- a \ln (\frac{a + x}{x}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x})))}{a + x}$

解题步骤 16.13

将 $- (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))$ 重写为 $- 1 (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))$ 。

$\frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (- 1 (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x})))}{a + x}$

解题步骤 16.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})}) (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

解题步骤 16.15

将 $- \frac{(b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})}) (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{b e^{b x \ln (\frac{a + x}{x})} (a - x \ln (\frac{a + x}{x}) - a \ln (\frac{a + x}{x}))}{a + x}$

微积分学 示例

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