微积分学示例

$\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$

解题步骤 1

化简表达式。

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解题步骤 1.1

在平面中画出顶点为 $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $arcsec (\frac{u}{2})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cot (arcsec (\frac{u}{2}))$ 为 $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}}]$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{{(\frac{u}{2})}^{2} - 1}$ 重写成 ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.3

将 $\frac{1}{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d u} [{({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 1.4

将 ${({({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 1.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 1.4.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{d}{d u} [{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ 等于 $f' (g (u)) g' (u)$ ，其中 $f (u) = u^{- \frac{1}{2}}$ 且 $g (u) = {(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

解题步骤 2.3

使用 ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

解题步骤 6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

解题步骤 7

使用求加法法则求导。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

解题步骤 7.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.1

组合 ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{{({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

解题步骤 7.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2} - 1]$

解题步骤 7.3

根据加法法则， ${(\frac{u}{2})}^{2} - 1$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1]$ 。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [{(\frac{u}{2})}^{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

解题步骤 8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ 等于 $f' (g (u)) g' (u)$ ，其中 $f (u) = u^{2}$ 且 $g (u) = \frac{u}{2}$ 。

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解题步骤 8.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{u}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

解题步骤 8.3

使用 $\frac{u}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

解题步骤 9

求微分。

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解题步骤 9.1

组合 $2$ 和 $\frac{u}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

解题步骤 9.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 u}{2} \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

解题步骤 9.2.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u \frac{d}{d u} [\frac{u}{2}] + \frac{d}{d u} [- 1])$

解题步骤 9.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以 $\frac{u}{2}$ 对 $u$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]$ 。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (u (\frac{1}{2} \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [- 1])$

解题步骤 9.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u$ 。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 1])$

解题步骤 9.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [- 1])$

解题步骤 9.6

将 $\frac{u}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + \frac{d}{d u} [- 1])$

解题步骤 9.7

因为 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $u$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{u}{2} + 0)$

解题步骤 9.8

合并分数。

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解题步骤 9.8.1

将 $\frac{u}{2}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{u}{2}$

解题步骤 9.8.2

将 $\frac{u}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$- \frac{u}{2 (2 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 9.8.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{u}{4 {({(\frac{u}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{u}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{u}{4 {(\frac{u^{2}}{4} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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