微积分学示例

$\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$

解题步骤 1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$

解题步骤 2

将 $\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

解题步骤 3

将 $\sin (t)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}]$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

用 $\sin (t)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{\sin (2 t)}$ 转换成 $\csc (2 t)$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \csc (2 t)]$

解题步骤 5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = \csc (2 t)$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)] + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \csc (t)$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 t$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

解题步骤 6.2

$\csc (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc (u) \cot (u)$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

解题步骤 6.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

解题步骤 7

求微分。

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解题步骤 7.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

解题步骤 7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \cdot 1) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

解题步骤 7.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

解题步骤 8

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \cos (t))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t))) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\sin (t)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sin (t)}{2} (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

解题步骤 9.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{\sin (t)}{2}$ 。

$\frac{- 2 \sin (t)}{2} (\csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

解题步骤 9.2.3

组合 $\csc (2 t)$ 和 $\frac{- 2 \sin (t)}{2}$ 。

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2} \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

解题步骤 9.2.4

组合 $\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2}$ 和 $\cot (2 t)$ 。

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

解题步骤 9.2.5

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.5.1

从 $\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

解题步骤 9.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 (1)} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

解题步骤 9.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

解题步骤 9.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)}{1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

解题步骤 9.2.5.2.4

用 $\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)$ 除以 $1$ 。

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

解题步骤 9.2.6

组合 $\csc (2 t)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t)}{2} \cos (t)$

解题步骤 9.2.7

组合 $\frac{\csc (2 t)}{2}$ 和 $\cos (t)$ 。

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$- \cot (2 t) \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4

化简每一项。

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解题步骤 9.4.1

将 $\cot (2 t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.2

将 $\csc (2 t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.3

乘以 $- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}$ 。

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解题步骤 9.4.3.1

将 $\frac{1}{\sin (2 t)}$ 乘以 $\frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)}$ 。

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.3.2

对 $\sin (2 t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.3.3

对 $\sin (2 t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin^{1} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\cos (2 t)}{{\sin (2 t)}^{1 + 1}} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.4

组合 $\sin (t)$ 和 $\frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)}$ 。

$- \frac{\sin (t) \cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.5

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.6

化简分母。

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解题步骤 9.4.6.1

使用正弦倍角公式。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t) \cos (t))}^{2}} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.6.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 9.4.6.2.1

对 $2 \sin (t) \cos (t)$ 运用乘积法则。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t))}^{2} \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.6.2.2

对 $2 \sin (t)$ 运用乘积法则。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{2^{2} \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.6.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.7

约去公因数。

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解题步骤 9.4.7.1

从 $4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ 中分解出因数 $\sin (t)$ 。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.7.2

约去公因数。

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.7.3

重写表达式。

$- \frac{2 \cos^{2} (t) - 1}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.8

使用余弦倍角公式。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.9

将 $\csc (2 t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{\sin (2 t)} \cos (t)}{2}$

解题步骤 9.4.10

组合 $\frac{1}{\sin (2 t)}$ 和 $\cos (t)$ 。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{\sin (2 t)}}{2}$

解题步骤 9.4.11

化简分子。

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解题步骤 9.4.11.1

使用正弦倍角公式。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

解题步骤 9.4.11.2

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.11.2.1

约去公因数。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

解题步骤 9.4.11.2.2

重写表达式。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{2 \sin (t)}}{2}$

解题步骤 9.4.12

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 9.4.13

乘以 $\frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 9.4.13.1

将 $\frac{1}{2 \sin (t)}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t) \cdot 2}$

解题步骤 9.4.13.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

解题步骤 9.5

化简每一项。

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解题步骤 9.5.1

分离分数。

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} \cdot \frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

解题步骤 9.5.2

将 $\frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

解题步骤 9.5.3

将 $\cos (2 t)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\frac{\cos (2 t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

解题步骤 9.5.4

化简。

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解题步骤 9.5.4.1

用 $\cos (2 t)$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

解题步骤 9.5.4.2

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

解题步骤 9.5.5

乘以 $1$ 。

$- (\frac{1}{4 (\cos^{2} (t) \cdot 1)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

解题步骤 9.5.6

分离分数。

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

解题步骤 9.5.7

将 $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ 转换成 $\sec^{2} (t)$ 。

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

解题步骤 9.5.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- (\frac{1}{4} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

解题步骤 9.5.9

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sec^{2} (t)$ 。

$- (\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

解题步骤 9.5.10

乘以 $\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))$ 。

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解题步骤 9.5.10.1

组合 $\cos (2 t)$ 和 $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ 。

$- (\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4} \csc (t)) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

解题步骤 9.5.10.2

组合 $\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4}$ 和 $\csc (t)$ 。

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

解题步骤 9.5.11

分离分数。

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

解题步骤 9.5.12

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \csc (t)$

解题步骤 9.5.13

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\csc (t)$ 。

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{\csc (t)}{4}$

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