微积分学示例

${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， ${(a + b)}^{4} - {(a - b)}^{4}$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ 。

$\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d a} [{(a + b)}^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 等于 $f' (g (a)) g' (a)$ ，其中 $f (a) = a^{4}$ 且 $g (a) = a + b$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $a + b$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

解题步骤 1.2.1.3

使用 $a + b$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 {(a + b)}^{3} \frac{d}{d a} [a + b] + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

解题步骤 1.2.2

根据加法法则， $a + b$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]$ 。

$4 {(a + b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {(a + b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [b]) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

解题步骤 1.2.4

因为 $b$ 对于 $a$ 是常数，所以 $b$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(a + b)}^{3} (1 + 0) + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

解题步骤 1.2.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 {(a + b)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

解题步骤 1.2.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 {(a + b)}^{3} + \frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d a} [- {(a - b)}^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $a$ 是常数，所以 $- {(a - b)}^{4}$ 对 $a$ 的导数是 $- \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$ 。

$4 {(a + b)}^{3} - \frac{d}{d a} [{(a - b)}^{4}]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ 等于 $f' (g (a)) g' (a)$ ，其中 $f (a) = a^{4}$ 且 $g (a) = a - b$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $a - b$ 。

$4 {(a + b)}^{3} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [a - b])$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $a - b$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \frac{d}{d a} [a - b])$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $a - b$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]$ 。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- b]))$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + \frac{d}{d a} [- b]))$

解题步骤 1.3.5

因为 $- b$ 对于 $a$ 是常数，所以 $- b$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} (1 + 0))$

解题步骤 1.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 1.3.7

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 {(a + b)}^{3} - (4 {(a - b)}^{3})$

解题步骤 1.3.8

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$

解题步骤 1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

从 $4 {(a + b)}^{3} - 4 {(a - b)}^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1.1

从 $4 {(a + b)}^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 ({(a + b)}^{3}) - 4 {(a - b)}^{3}$

解题步骤 1.4.1.2

从 $- 4 {(a - b)}^{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$

解题步骤 1.4.1.3

从 $4 ({(a + b)}^{3}) + 4 (- {(a - b)}^{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 ({(a + b)}^{3} - {(a - b)}^{3})$

解题步骤 1.4.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.1

使用二项式定理。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - {(a - b)}^{3})$

解题步骤 1.4.2.2

使用二项式定理。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 a^{2} (- b) + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

解题步骤 1.4.2.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} + 3 \cdot - 1 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

解题步骤 1.4.2.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a {(- b)}^{2} + {(- b)}^{3}))$

解题步骤 1.4.2.3.3

对 $- b$ 运用乘积法则。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a ({(- 1)}^{2} b^{2}) + {(- b)}^{3}))$

解题步骤 1.4.2.3.4

使用乘法的交换性质重写。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

解题步骤 1.4.2.3.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 \cdot 1 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

解题步骤 1.4.2.3.6

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- b)}^{3}))$

解题步骤 1.4.2.3.7

对 $- b$ 运用乘积法则。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3}))$

解题步骤 1.4.2.3.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - (a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}))$

解题步骤 1.4.2.4

运用分配律。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} - (- 3 a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

解题步骤 1.4.2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.5.1

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - (3 a b^{2}) - - b^{3})$

解题步骤 1.4.2.5.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) - - b^{3})$

解题步骤 1.4.2.5.3

乘以 $- - b^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.2.5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + 1 b^{3})$

解题步骤 1.4.2.5.3.2

将 $b^{3}$ 乘以 $1$ 。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 (a^{2} b) - 3 (a b^{2}) + b^{3})$

解题步骤 1.4.2.6

去掉圆括号。

$4 (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

解题步骤 1.4.3

合并 $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} - a^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.3.1

从 $a^{3}$ 中减去 $a^{3}$ 。

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 0 + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

解题步骤 1.4.3.2

将 $3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 (3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3})$

解题步骤 1.4.3.3

从 $3 a b^{2}$ 中减去 $3 a b^{2}$ 。

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + 0 + b^{3})$

解题步骤 1.4.3.4

将 $3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b$ 和 $0$ 相加。

$4 (3 a^{2} b + b^{3} + 3 a^{2} b + b^{3})$

解题步骤 1.4.4

将 $3 a^{2} b$ 和 $3 a^{2} b$ 相加。

$4 (b^{3} + 6 a^{2} b + b^{3})$

解题步骤 1.4.5

将 $b^{3}$ 和 $b^{3}$ 相加。

$4 (2 b^{3} + 6 a^{2} b)$

解题步骤 1.4.6

运用分配律。

$4 (2 b^{3}) + 4 (6 a^{2} b)$

解题步骤 1.4.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 b^{3} + 4 (6 a^{2} b)$

解题步骤 1.4.8

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f' (a) = 8 b^{3} + 24 a^{2} b$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $8 b^{3} + 24 a^{2} b$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ 。

$\frac{d}{d a} [8 b^{3}] + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

解题步骤 2.1.2

因为 $8 b^{3}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $8 b^{3}$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d a} [24 a^{2} b]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $24 b$ 对于 $a$ 是常数，所以 $24 a^{2} b$ 对 $a$ 的导数是 $24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$ 。

$0 + 24 b \frac{d}{d a} [a^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 24 b (2 a)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $24$ 。

$0 + 48 b a$

解题步骤 2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $0$ 和 $48 b a$ 相加。

$48 b a$

解题步骤 2.3.2

重新排序 $48 b a$ 的因式。

$f'' (a) = 48 a b$

解题步骤 3

求三阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

因为 $48 b$ 对于 $a$ 是常数，所以 $48 a b$ 对 $a$ 的导数是 $48 b \frac{d}{d a} [a]$ 。

$48 b \frac{d}{d a} [a]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$48 b \cdot 1$

解题步骤 3.3

将 $48$ 乘以 $1$ 。

$f''' (a) = 48 b$

解题步骤 4

因为 $48 b$ 对于 $a$ 是常数，所以 $48 b$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (a) = 0$

微积分学 示例

微积分学示例