微积分学示例

$x^{n}$

解题步骤 1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = n$ 。

$f' (x) = n x^{n - 1}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $n$ 对于 $x$ 是常数，所以 $n x^{n - 1}$ 对 $x$ 的导数是 $n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$ 。

$n \frac{d}{d x} [x^{n - 1}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = n - 1$ 。

$n ((n - 1) x^{n - 1 - 1})$

解题步骤 2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$n ((n - 1) x^{n - 2})$

解题步骤 2.3.2

重新排序 $n ((n - 1) x^{n - 2})$ 的因式。

$f'' (x) = x^{n - 2} n (n - 1)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $n (n - 1)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{n - 2} n (n - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$ 。

$n (n - 1) \frac{d}{d x} [x^{n - 2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = n - 2$ 。

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 2 - 1})$

解题步骤 3.3

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$n (n - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$(n \cdot n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

解题步骤 3.4.2

合并项。

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解题步骤 3.4.2.1

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$(n^{1} n + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

解题步骤 3.4.2.2

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$(n^{1} n^{1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

解题步骤 3.4.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(n^{1 + 1} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

解题步骤 3.4.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(n^{2} + n \cdot - 1) ((n - 2) x^{n - 3})$

解题步骤 3.4.2.5

将 $- 1$ 移到 $n$ 的左侧。

$(n^{2} - 1 \cdot n) ((n - 2) x^{n - 3})$

解题步骤 3.4.2.6

将 $- 1 n$ 重写为 $- n$ 。

$(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$

解题步骤 3.4.3

重新排序 $(n^{2} - n) (n - 2) x^{n - 3}$ 的因式。

$f''' (x) = x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $(n - 2) (n^{2} - n)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x^{n - 3} (n - 2) (n^{2} - n)$ 对 $x$ 的导数是 $(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$ 。

$(n - 2) (n^{2} - n) \frac{d}{d x} [x^{n - 3}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = n - 3$ 。

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 3 - 1})$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

从 $- 3$ 中减去 $1$ 。

$(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$

解题步骤 4.3.2

重新排序 $(n - 2) (n^{2} - n) ((n - 3) x^{n - 4})$ 的因式。

$f^{4} (x) = x^{n - 4} (n - 2) (n - 3) (n^{2} - n)$

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