微积分学示例

$lim_{x \to \infty} x - \sqrt{x}$

解题步骤 1

相乘以使分子有理化。

$lim_{x \to \infty} \frac{(x - \sqrt{x}) (x + \sqrt{x})}{x + \sqrt{x}}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 FOIL（先外后内）展开分子。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + x \sqrt{x} + x (- \sqrt{x}) - {\sqrt{x}}^{2}}{x + \sqrt{x}}$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x + \sqrt{x}}$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x + \sqrt{x}}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{\frac{2}{2}}}{x + \sqrt{x}}$

解题步骤 2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{\frac{2}{2}}}{x + \sqrt{x}}$

解题步骤 2.2.4.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x^{1}}{x + \sqrt{x}}$

解题步骤 2.2.5

化简。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} - x}{x + \sqrt{x}}$

解题步骤 3

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.1.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.1.1.2.3

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.1.1.2.4

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{1} - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.1.1.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - \frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.1.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1 \cdot 1}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{\frac{x}{x} + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.2.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x^{1}}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.2.2.3

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}$

解题步骤 4.2.2.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}}$

解题步骤 4.2.2.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{1 + \sqrt{0}}$

解题步骤 6

因为当其分母趋于一个常数时其分子无限大，所以分式 $\frac{x - 1}{1 + \sqrt{0}}$ 趋于无穷大。

$\infty$

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