微积分学示例

$\sum_{n = 2}^{10} \frac{1}{2} n + 3$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $n$ 。

$\frac{n}{2} + 3$

解题步骤 1.2

重写该总和。

$\sum_{n = 2}^{10} \frac{n}{2} + 3$

$\sum_{n = 2}^{10} \frac{n}{2} + 3$

解题步骤 2

分解总和使 $n$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{n = 2}^{10} \frac{n}{2} + 3 = \sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2} + 3 - \sum_{n = 1}^{1} \frac{n}{2} + 3$

解题步骤 3

计算 $\sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2} + 3$ 。

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解题步骤 3.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2} + 3 = \sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2} + \sum_{n = 1}^{10} 3$

解题步骤 3.2

计算 $\sum_{n = 1}^{10} \frac{n}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从总和中因式分解出 $\frac{1}{2}$ 。

$(\frac{1}{2}) \sum_{n = 1}^{10} n$

解题步骤 3.2.2

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 3.2.3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(\frac{1}{2}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

解题步骤 3.2.4

化简。

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解题步骤 3.2.4.1

化简表达式。

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解题步骤 3.2.4.1.1

将 $10$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

解题步骤 3.2.4.1.2

将 $10$ 乘以 $11$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{110}{2}$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{110}{2}$

解题步骤 3.2.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.2.1

从 $110$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (55)}{2}$

解题步骤 3.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 55}{2}$

解题步骤 3.2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{55}{2}$

$\frac{55}{2}$

$\frac{55}{2}$

$\frac{55}{2}$

解题步骤 3.3

计算 $\sum_{n = 1}^{10} 3$ 。

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解题步骤 3.3.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 3.3.2

将值代入公式中。

$(3) (10)$

解题步骤 3.3.3

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$30$

$30$

解题步骤 3.4

将求和的总和相加。

$\frac{55}{2} + 30$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

要将 $30$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{55}{2} + 30 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 3.5.2

组合 $30$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{55}{2} + \frac{30 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{55 + 30 \cdot 2}{2}$

解题步骤 3.5.4

化简分子。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $30$ 乘以 $2$ 。

$\frac{55 + 60}{2}$

解题步骤 3.5.4.2

将 $55$ 和 $60$ 相加。

$\frac{115}{2}$

$\frac{115}{2}$

$\frac{115}{2}$

$\frac{115}{2}$

解题步骤 4

计算 $\sum_{n = 1}^{1} \frac{n}{2} + 3$ 。

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解题步骤 4.1

展开 $n$ 每个取值的序列。

$\frac{1}{2} + 3$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.2.4

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1 + 6}{2}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{7}{2}$

$\frac{7}{2}$

$\frac{7}{2}$

$\frac{7}{2}$

解题步骤 5

用求得的值替换总和。

$\frac{115}{2} - \frac{7}{2}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

在公分母上合并分子。

$\frac{115 - 7}{2}$

解题步骤 6.2

化简表达式。

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解题步骤 6.2.1

从 $115$ 中减去 $7$ 。

$\frac{108}{2}$

解题步骤 6.2.2

用 $108$ 除以 $2$ 。

$54$

$54$

$54$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$