微积分学示例

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 k - 6}{4}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

从 $3 k - 6$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $3 k$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (k) - 6}{4}$

解题步骤 1.1.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 k + 3 \cdot - 2}{4}$

解题步骤 1.1.3

从 $3 k + 3 \cdot - 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (k - 2)}{4}$

解题步骤 1.2

重写该总和。

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 (k - 2)}{4}$

解题步骤 2

分解总和使 $k$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{k = 6}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} = \sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} - \sum_{k = 1}^{5} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$ 。

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解题步骤 3.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2} = \sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4} + \sum_{k = 1}^{31} - \frac{3}{2}$

解题步骤 3.2

计算 $\sum_{k = 1}^{31} \frac{3 k}{4}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从总和中因式分解出 $\frac{3}{4}$ 。

$(\frac{3}{4}) \sum_{k = 1}^{31} k$

解题步骤 3.2.2

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 3.2.3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(\frac{3}{4}) (\frac{31 (31 + 1)}{2})$

解题步骤 3.2.4

化简。

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解题步骤 3.2.4.1

化简表达式。

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解题步骤 3.2.4.1.1

将 $31$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{31 \cdot 32}{2}$

解题步骤 3.2.4.1.2

将 $31$ 乘以 $32$ 。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{992}{2}$

解题步骤 3.2.4.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.2.1

从 $992$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 (248)}{2}$

解题步骤 3.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 \cdot 248}{2}$

解题步骤 3.2.4.2.3

重写表达式。

$3 (\frac{248}{2})$

解题步骤 3.2.4.3

组合 $3$ 和 $\frac{248}{2}$ 。

$\frac{3 \cdot 248}{2}$

解题步骤 3.2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 3.2.4.4.1

将 $3$ 乘以 $248$ 。

$\frac{744}{2}$

解题步骤 3.2.4.4.2

用 $744$ 除以 $2$ 。

$372$

解题步骤 3.3

计算 $\sum_{k = 1}^{31} - \frac{3}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 3.3.2

将值代入公式中。

$(- \frac{3}{2}) (31)$

解题步骤 3.3.3

化简。

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解题步骤 3.3.3.1

乘以 $(- \frac{3}{2}) (31)$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将 $31$ 乘以 $- 1$ 。

$- 31 (\frac{3}{2})$

解题步骤 3.3.3.1.2

组合 $- 31$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{- 31 \cdot 3}{2}$

解题步骤 3.3.3.1.3

将 $- 31$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 93}{2}$

解题步骤 3.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{93}{2}$

解题步骤 3.4

将求和的总和相加。

$372 - \frac{93}{2}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

要将 $372$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$372 \cdot \frac{2}{2} - \frac{93}{2}$

解题步骤 3.5.2

组合 $372$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{372 \cdot 2}{2} - \frac{93}{2}$

解题步骤 3.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{372 \cdot 2 - 93}{2}$

解题步骤 3.5.4

化简分子。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $372$ 乘以 $2$ 。

$\frac{744 - 93}{2}$

解题步骤 3.5.4.2

从 $744$ 中减去 $93$ 。

$\frac{651}{2}$

解题步骤 4

计算 $\sum_{k = 1}^{5} \frac{3 k}{4} - \frac{3}{2}$ 。

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解题步骤 4.1

展开 $k$ 每个取值的序列。

$\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 3}{4} - \frac{3}{2} + \dots + \frac{3 \cdot 5}{4} - \frac{3}{2}$

解题步骤 4.2

化简展开式。

$\frac{15}{4}$

解题步骤 5

用求得的值替换总和。

$\frac{651}{2} - \frac{15}{4}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

要将 $\frac{651}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{651}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{4}$

解题步骤 6.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 6.2.1

将 $\frac{651}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{651 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{15}{4}$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{651 \cdot 2}{4} - \frac{15}{4}$

解题步骤 6.3

在公分母上合并分子。

$\frac{651 \cdot 2 - 15}{4}$

解题步骤 6.4

化简分子。

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解题步骤 6.4.1

将 $651$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1302 - 15}{4}$

解题步骤 6.4.2

从 $1302$ 中减去 $15$ 。

$\frac{1287}{4}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1287}{4}$

小数形式：

$321.75$

带分数形式：

$321 \frac{3}{4}$

微积分学 示例

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