微积分学示例

$\sum_{k = 1}^{3} {(- 1)}^{k + 1} + \cos (\frac{π}{k})$

解题步骤 1

展开 $k$ 每个取值的序列。

${(- 1)}^{1 + 1} + \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(- 1)}^{2} + \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + \cos (\frac{π}{1}) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.1.3

用 $π$ 除以 $1$ 。

$1 + \cos (π) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$1 - \cos (0) + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1 - 1 \cdot 1 + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 - 1 + {(- 1)}^{2 + 1} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.1.7

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$1 - 1 + {(- 1)}^{3} + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.1.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - 1 - 1 + \cos (\frac{π}{2}) + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.1.9

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$1 - 1 - 1 + 0 + {(- 1)}^{3 + 1} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.1.10

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$1 - 1 - 1 + 0 + {(- 1)}^{4} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.1.11

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 - 1 - 1 + 0 + 1 + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 2.1.12

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$1 - 1 - 1 + 0 + 1 + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0 - 1 + 0 + 1 + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1 + 0 + 1 + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$- 1 + 1 + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5

求公分母。

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解题步骤 2.5.1

将 $- 1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 1}{1} + 1 + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.2

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 1 + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.3

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + 1 + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.4

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.5

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.5.6

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 \cdot 2 + 2 + 1}{2}$

解题步骤 2.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 + 2 + 1}{2}$

解题步骤 2.8

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{0 + 1}{2}$

解题步骤 2.9

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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