微积分学示例

$\sum_{k = 1}^{4} {(- \frac{2}{3})}^{K}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 1.1.1

对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{K} {(\frac{2}{3})}^{K}$

解题步骤 1.1.2

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{K} \frac{2^{K}}{3^{K}}$

解题步骤 1.2

乘以 ${(- 1)}^{K} \frac{2^{K}}{3^{K}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

组合 ${(- 1)}^{K}$ 和 $\frac{2^{K}}{3^{K}}$ 。

$\frac{{(- 1)}^{K} \cdot 2^{K}}{3^{K}}$

解题步骤 1.2.2

将 ${(- 1)}^{K} \cdot 2^{K}$ 重写为 ${(- 1 \cdot 2)}^{K}$ 。

$\frac{{(- 1 \cdot 2)}^{K}}{3^{K}}$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(- 2)}^{K}}{3^{K}}$

解题步骤 1.3

重写该总和。

$\sum_{k = 1}^{4} \frac{{(- 2)}^{K}}{3^{K}}$

解题步骤 2

展开 $k$ 每个取值的序列。

$\frac{{(- 2)}^{K}}{3^{K}} + \frac{{(- 2)}^{K}}{3^{K}} + \frac{{(- 2)}^{K}}{3^{K}} + \frac{{(- 2)}^{K}}{3^{K}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{{(- 2)}^{K} + {(- 2)}^{K} + {(- 2)}^{K} + {(- 2)}^{K}}{3^{K}}$

解题步骤 3.2

将 ${(- 2)}^{K}$ 和 ${(- 2)}^{K}$ 相加。

$\frac{2 {(- 2)}^{K} + {(- 2)}^{K} + {(- 2)}^{K}}{3^{K}}$

解题步骤 3.3

将 $2 {(- 2)}^{K}$ 和 ${(- 2)}^{K}$ 相加。

$\frac{3 {(- 2)}^{K} + {(- 2)}^{K}}{3^{K}}$

解题步骤 3.4

将 $3 {(- 2)}^{K}$ 和 ${(- 2)}^{K}$ 相加。

$\frac{4 {(- 2)}^{K}}{3^{K}}$

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