微积分学示例

$\sum_{k = 0}^{10} 3 + 0.25 k$

解题步骤 1

分解总和使 $k$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{k = 0}^{10} 3 + 0.25 k = \sum_{k = 1}^{10} 3 + 0.25 k + \sum_{k = 0}^{0} 3 + 0.25 k$

解题步骤 2

计算 $\sum_{k = 1}^{10} 3 + 0.25 k$ 。

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解题步骤 2.1

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{10} 3 + 0.25 k = \sum_{k = 1}^{10} 3 + 0.25 \sum_{k = 1}^{10} k$

解题步骤 2.2

计算 $\sum_{k = 1}^{10} 3$ 。

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解题步骤 2.2.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 2.2.2

将值代入公式中。

$(3) (10)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$30$

解题步骤 2.3

计算 $0.25 \sum_{k = 1}^{10} k$ 。

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解题步骤 2.3.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.3.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(0.25) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

化简表达式。

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解题步骤 2.3.3.1.1

将 $10$ 和 $1$ 相加。

$0.25 \frac{10 \cdot 11}{2}$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $10$ 乘以 $11$ 。

$0.25 (\frac{110}{2})$

解题步骤 2.3.3.2

约去 $0.25$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $0.25$ 。

$0.25 \frac{110}{0.25 (8)}$

解题步骤 2.3.3.2.2

约去公因数。

$0.25 \frac{110}{0.25 \cdot 8}$

解题步骤 2.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{110}{8}$

解题步骤 2.3.3.3

约去 $110$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.3.3.1

从 $110$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (55)}{8}$

解题步骤 2.3.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.3.3.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 55}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 55}{2 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{55}{4}$

解题步骤 2.4

将求和的总和相加。

$30 + \frac{55}{4}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

要将 $30$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$30 \cdot \frac{4}{4} + \frac{55}{4}$

解题步骤 2.5.2

组合 $30$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{30 \cdot 4}{4} + \frac{55}{4}$

解题步骤 2.5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{30 \cdot 4 + 55}{4}$

解题步骤 2.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $30$ 乘以 $4$ 。

$\frac{120 + 55}{4}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $120$ 和 $55$ 相加。

$\frac{175}{4}$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 0}^{0} 3 + 0.25 k$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $k$ 每个取值的序列。

$3 + 0.25 \cdot 0$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $0.25$ 乘以 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 3.2.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$\frac{175}{4} + 3$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{175}{4} + 3 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 5.2

组合 $3$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{175}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{175 + 3 \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{175 + 12}{4}$

解题步骤 5.4.2

将 $175$ 和 $12$ 相加。

$\frac{187}{4}$

解题步骤 5.5

约去 $187$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.1

将 $187$ 重写为 $1 (187)$ 。

$\frac{1 (187)}{4}$

解题步骤 5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $4$ 重写为 $1 (4)$ 。

$\frac{1 \cdot 187}{1 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.2

约去公因数。

$\frac{1 \cdot 187}{1 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3

重写表达式。

$\frac{187}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{187}{4}$

小数形式：

$46.75$

带分数形式：

$46 \frac{3}{4}$

微积分学 示例

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