微积分学示例

$\sum_{k = 2}^{5} \frac{1}{2 k (k + 1)}$

解题步骤 1

展开 $k$ 每个取值的序列。

$\frac{1}{2 \cdot 2 (2 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4 (2 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

解题步骤 2.1.3

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{2 \cdot 3 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

解题步骤 2.1.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6 (3 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

解题步骤 2.1.5

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{6 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

解题步骤 2.1.6

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{2 \cdot 4 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

解题步骤 2.1.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8 (4 + 1)} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

解题步骤 2.1.8

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8 \cdot 5} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

解题步骤 2.1.9

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{2 \cdot 5 (5 + 1)}$

解题步骤 2.1.10

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{10 (5 + 1)}$

解题步骤 2.1.11

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{10 \cdot 6}$

解题步骤 2.1.12

将 $10$ 乘以 $6$ 。

$\frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

解题步骤 2.2

求公分母。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{12}$ 乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{10}{10} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{12}$ 乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{1}{24} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{1}{24}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{1}{24} \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

解题步骤 2.2.4

将 $\frac{1}{24}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}$

解题步骤 2.2.5

将 $\frac{1}{40}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{1}{40} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{60}$

解题步骤 2.2.6

将 $\frac{1}{40}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{1}{60}$

解题步骤 2.2.7

将 $\frac{1}{60}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{1}{60} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.2.8

将 $\frac{1}{60}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{10}{12 \cdot 10} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.9

重新排序 $12 \cdot 10$ 的因式。

$\frac{10}{10 \cdot 12} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.10

将 $10$ 乘以 $12$ 。

$\frac{10}{120} + \frac{5}{24 \cdot 5} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.11

重新排序 $24 \cdot 5$ 的因式。

$\frac{10}{120} + \frac{5}{5 \cdot 24} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.12

将 $5$ 乘以 $24$ 。

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{40 \cdot 3} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.13

重新排序 $40 \cdot 3$ 的因式。

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{3 \cdot 40} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.14

将 $3$ 乘以 $40$ 。

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{60 \cdot 2}$

解题步骤 2.2.15

重新排序 $60 \cdot 2$ 的因式。

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{2 \cdot 60}$

解题步骤 2.2.16

将 $2$ 乘以 $60$ 。

$\frac{10}{120} + \frac{5}{120} + \frac{3}{120} + \frac{2}{120}$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{10 + 5 + 3 + 2}{120}$

解题步骤 2.4

将 $10$ 和 $5$ 相加。

$\frac{15 + 3 + 2}{120}$

解题步骤 2.5

将 $15$ 和 $3$ 相加。

$\frac{18 + 2}{120}$

解题步骤 2.6

将 $18$ 和 $2$ 相加。

$\frac{20}{120}$

解题步骤 2.7

约去 $20$ 和 $120$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1

从 $20$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{20 (1)}{120}$

解题步骤 2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 2.7.2.1

从 $120$ 中分解出因数 $20$ 。

$\frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 6}$

解题步骤 2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{20 \cdot 1}{20 \cdot 6}$

解题步骤 2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{6}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{6}$

小数形式：

$0.1\overline{6}$

微积分学 示例

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