微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{\ln (\cos (3 x))}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1.1

将极限移入对数中。

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

解题步骤 1.2.1.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

解题步骤 1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

解题步骤 1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.2.3.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

解题步骤 1.2.3.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (\cos (3 x))}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.3.1.1

将极限移入对数中。

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} \cos (3 x))}$

解题步骤 1.3.1.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{0}{\ln (\cos (lim_{x \to 0} 3 x))}$

解题步骤 1.3.1.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\ln (\cos (3 lim_{x \to 0} x))}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\ln (\cos (3 \cdot 0))}$

解题步骤 1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{\ln (\cos (0))}$

解题步骤 1.3.3.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0}{\ln (1)}$

解题步骤 1.3.3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\cos (x))}{\ln (\cos (3 x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

解题步骤 3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

解题步骤 3.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

解题步骤 3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

解题步骤 3.4

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (3 x))]}$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (3 x)$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (3 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

解题步骤 3.5.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

解题步骤 3.5.3

使用 $\cos (3 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}$

解题步骤 3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}$

解题步骤 3.6.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}$

解题步骤 3.6.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (3 x)} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}$

解题步骤 3.7

组合 $\frac{1}{\cos (3 x)}$ 和 $\sin (3 x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [3 x]}$

解题步骤 3.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} (3 \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.9

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- 3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.10

组合 $- 3$ 和 $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{- 3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot 1}$

解题步骤 3.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (- \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)})$

解题步骤 5

合并因数。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to 0} 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$

解题步骤 5.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 乘以 $\frac{\cos (3 x)}{3 \sin (3 x)}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (3 \sin (3 x))}$

解题步骤 6

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (\sin (3 x))}$

解题步骤 7

运用洛必达法则。

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解题步骤 7.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 7.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

解题步骤 7.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 7.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

解题步骤 7.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

解题步骤 7.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

解题步骤 7.1.2.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

解题步骤 7.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

解题步骤 7.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

解题步骤 7.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 7.1.2.6.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

解题步骤 7.1.2.6.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

解题步骤 7.1.2.6.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

解题步骤 7.1.2.6.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) (\sin (3 x))}$

解题步骤 7.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 7.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 7.1.3.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

解题步骤 7.1.3.3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

解题步骤 7.1.3.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7.1.3.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1.3.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 7.1.3.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 7.1.3.6.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.3.6.2

将 $\sin (3 \cdot 0)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 7.1.3.6.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

解题步骤 7.1.3.6.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 7.1.3.6.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 7.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 7.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 7.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (3 x)}{\cos (x) (\sin (3 x))} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

解题步骤 7.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 7.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

解题步骤 7.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (3 x)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

解题步骤 7.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 7.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

解题步骤 7.3.3.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

解题步骤 7.3.3.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

解题步骤 7.3.4

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

解题步骤 7.3.5

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

解题步骤 7.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

解题步骤 7.3.7

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

解题步骤 7.3.8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

解题步骤 7.3.9

重新排序项。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) (\sin (3 x))]}$

解题步骤 7.3.10

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \sin (3 x)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 7.3.11

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 7.3.11.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 7.3.11.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 7.3.11.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 7.3.12

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 7.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 7.3.14

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{\cos (x) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 7.3.15

将 $3$ 移到 $\cos (x) \cos (3 x)$ 的左侧。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cdot \cos (x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

解题步骤 7.3.16

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cos (x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (x)}$

解题步骤 7.3.17

重新排序项。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 3 \sin (x) \sin (3 x) + \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 3 \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.5

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.9

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.10

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.11

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.12

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 \cos (x) \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.13

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.14

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.15

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.16

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.17

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x) \sin (3 x)}$

解题步骤 8.18

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

解题步骤 8.19

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

解题步骤 8.20

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

解题步骤 8.21

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

解题步骤 9

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 9.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 9.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 9.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 9.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 9.5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 9.6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 9.7

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

解题步骤 9.8

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

化简分子。

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解题步骤 10.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.1.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.1.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.1.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 \cdot 0 + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.1.5

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.1.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 1 \cdot \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.1.7

将 $\cos (3 \cdot 0)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (3 \cdot 0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.1.8

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + \cos (0)}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.1.9

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 1}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.1.10

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cos (0) \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot \cos (3 \cdot 0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot \cos (0) - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1 - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 - \sin (0) \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 - 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

解题步骤 10.2.8

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot \sin (0)}$

解题步骤 10.2.9

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0 \cdot 0}$

解题步骤 10.2.10

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3 + 0}$

解题步骤 10.2.11

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 10.3

乘以 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 10.3.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

解题步骤 10.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{9}$

微积分学 示例

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